а)

Пусть есть два различных значения x1 и x2, таких, что: x1<x2≤-2. Это значит, что x2-x1>0; а также, что: x1+x2+2<0

Проверим функцию на убывание:

f(x2)-f(x1)=(x2)2+2×2-(x1)2-2×1=(x2)2-(x1)2+2(x2-x1)=(x2-x1)(x2+x1)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2)

Мы знаем, что: x2-x1>0 и x1+x2+2<0.

Следовательно, (x2-x1)(x1+x2+2)<0, а то есть f(x2)-f(x1)<0, а значит функция убывает на промежутке (-∞;-2].

Докажем, что функция возрастает на промежутке  [0;+∞).

Пусть есть два различных значения x1 и x2, таких, что: x2>x1≥0, из этого следует, что x2-x1>0; а также, что: x1+x2+2>0

Проверим функцию на возрастание:

f(x2)-f(x1)=(x2)2+2×2-(x1)2-2×1=(x2)2-(x1)2+2(x2-x1)=(x2-x1)(x2+x1)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2)

Мы знаем, что: x2-x1>0 и x1+x2+2>0.

Следовательно, (x2-x1)(x1+x2+2)>0, а то есть f(x2)-f(x1)>0, а значит функция возрастает на промежутке  [0;+∞).

б)

Функция g(x) является нечётной. Пусть x3+x>7, тогда функция возрастает на промежутке [7; +∞). Но так как функция g(x)=x3+x-7 является нечётной, то она не меняет свой характер монотонности на остальной части области определения. А значит, функция  g(x)=x3+x-7 возрастает на R.