•    а) g(x)=2×3+4sgn(x)-14

Рассмотрим первую функцию: y=2×3. Она нечётная, так как: y(x)=2×3, а y(-x)=-2×3, и тогда y(x)≠y(-x).

Рассмотрим вторую функцию y=4sgn(x). Она является нечётной по первому свойству.

Тогда изначальная функция является нечётной по свойству сложения двух нечётных функций.

б) g(x)=-3×5∙|x|∙sgn(x)

Рассмотрим первую функцию y=-3×5. Она нечётная так как: y(x)=-3×5, а  y(-x)=3×5, и тогда  y(x)≠y(-x).

|x| – чётная функция;

sgn(x) – нечётная, кусочно-заданная функция.

-3×5∙|x| есть произведение функций различной чётности, а следовательно, и результат произведения будет в виде нечётной функции. Но если -3×5∙|x| – функция нечётная, а sgn(x) также является нечётной, тогда g(x)=-3×5∙|x|∙sgn(x) есть чётная функция вследствие произведения двух функций одинаковой чётности.

в) g(x)=([x]+{x})x3∙sgn(x)

Запишем данную функцию в виде: g(x)=([x]+{x})∙1×3∙sgn(x)..

Функции [x] и {x} не являются ни чётными, ни нечётными.

Рассмотрим функцию y=1×3∙sgn(x).  x3∙sgn(x) есть произведение двух нечётных функций, тогда по свойству 4 (x3∙sgn(x)) – чётная функция, а тогда по свойству 3    y=1×3∙sgn(x). – также чётная.

Следовательно, так как первый множитель не является ни чётным, ни нечётным, а второй – чётным, изначальная функция g(x)=([x]+{x})x3∙sgn(x) – нечётная по свойству 4.

г) g(x)=(sgn(x2-2)x3

Запишем данную функцию в виде: g(x)=sgn(x2-2)∙1×3

Рассмотрим первую функцию: y=sgn(x2-2).

Данная функция есть композиция функции x и sgn(x2-2). В то же время функция sgn(x2-2). есть композиция нечетной функции sgn(x)  и чётной функции x2-2.Тогда по свойству 7 (sgn(x2-2)) – чётная функция, и по тому же свойству  y=sgn(x2-2). – также чётная функция.

Рассмотрим вторую функцию: y=1×3.

x3 – нечётная функция, тогда по свойству 3   y=1×3 также будет нечётной функцией.

Итак, первая функция – чётная, а вторая – нечётная, следовательно, g(x)=(sgn(x2-2)x3 будет нечётной функцией вследствие произведения двух функций разной чётности.

Ответ: а) нечётная; б) чётная; в) нечётная; г) нечётная.