а)f(x)=2×4-3×2-4|x|

Запишем функцию в виде f(x)=2×4+(-3×2)+(-4|x|) для удобства.

Рассмотрим по отдельности три функции:

y=2×4

Данная функция является чётной так как: y(x)=2×4=y(-x)=2(-x)4=2×4.

y=-3×2

Данная функция также является чётной так как: y(x)=-3×2=y(-x)=-3(-x)2=-3×2

y=-4|x| 

Наконец, эта функция тоже является чётной по первому признаку так как y=|x|  – чётная функция.

Следовательно, если все три рассмотренные функции являются чётными, тогда и сама функция f(x)=2×4-3×2-4|x| также является чётной по свойству сложения чётных функций.

б) f(x)=2×4∙|x|∙sgn(x)

Рассмотрим три функции:

y=2×4

Данная функция является чётной так как: y(x)=2×4=y(-x)=2(-x)4=2×4.

y=|x| – чётная функция.

y=sgn(x) – кусочно-заданная, нечётная функция.

Пусть  g(x)=2×4∙|x| – чётная функция, полученная вследствие произведения двух чётных функций y=2×4 и y=|x|.  Тогда наша функция f(x)=2×4∙|x|∙sgn(x) будет нечётной по произведению двух функций различной чётности.

в) f(x)=(2×2+5)(sgn(x))2

Запишем эту функцию в виде: f(x)=(2×2+5)∙1(sgn(x))2.

Рассмотрим первую функцию: y=2×2+5.

Она чётная так как: y(x)=2×2+5=y(-x)=2(-x)2+5=2×2+5.

Рассмотрим вторую функцию: y=1(sgn(x))2.

Её можно записать в виде: y=1(sgn(x))∙1(sgn(x)). Так как y=1(sgn(x))  – нечётная функция (по третьему свойству), то y=1(sgn(x))∙1(sgn(x)) – чётная функция по свойству произведения функций одинаковой чётности.

Итак, y=2×2+5 – чётная и y=1(sgn(x))2. – чётная, тогда изначальная функция f(x)=(2×2+5)(sgn(x))2 является чётной также по свойству произведения функций одинаковой чётности.

г) f(x)=sgn(2×2+5)x2

Запишем эту функцию в виде f(x)=(sgn(2×2+5))∙1×2.

Рассмотрим первую функцию: y=(sgn(2×2+5)).

Эта функция есть композиция двух функций: sgn(x) – нечётной и 2×2+5 – чётной. Следовательно, по седьмому признаку функция  y=(sgn(2×2+5)) является чётной.

Рассмотрим вторую функцию: y=1×2.

Функция x2 является чётной, следовательно y=1×2 также является чётной по третьему свойству.

Итак, y=(sgn(2×2+5)) – чётная, y=1×2 – чётная, тогда f(x)=sgn(2×2+5)x2 тоже является чётной по свойству произведения функций одинаковой чётности.

Ответ: а) чётная; б) нечётная; в) чётная; г) чётная.