$\frac{1}{(x—1)(x—2)}+\frac{1}{(x—2)(x—3)}+\frac{1}{(x—3)(x—4)}+\frac{1}{(x—4)(x—5)} =\frac{x—3+x—1}{(x—1)(x—2)(x—3)}+\frac{x—5+x—3}{(x—3)(x—4)(x—5)}=\frac{2(x—2)}{(x—1)(x—2)(x—3)}+\frac{2(x—4)}{(x—3)(x—4)(x—5)}=\frac{2}{(x—1)(x—3)}+\frac{2}{(x—3)(x—5)}=\frac{2(x—5)+2(x—1)}{(x—1)(x—3)(x—5)}=\frac{4(x—3)}{(x—1)(x—3)(x—5)} =\frac{4}{(x—1)(x—5)}$