Пусть катеты прямоугольного треугольника ABC равны a и b.

Тогда:

a+b=12, a=12-b;

S=ab=(12-b)b=12b-b2;

Рассмотрим функцию y=-b2+12b. Это парабола, ветви направлены вниз, а значит наибольшее значение функции равно её вершине.

Найдём вершину функции:

x0=-12-2=6;

y0=12-6=6;

Значит катеты равны 6 и 6см.

Ответ: 6см и 6см.