Пусть стороны прямоугольника равны x и y см. Если периметр прямоугольника равен 40см, тогда:

$2x+2y=40, y=20—x;$

Площадь прямоугольника равна:

$S=xy=x(20—x)=20x—x^2;$

Рассмотрим функцию $y=—x^2+20x$. Это парабола, ветви направлены вниз, а значит наибольшее значение функции будет в точке вершины. Найдём вершину этой функции:

$x_0=—\frac{b}{2a}=—\frac{20}{—2}=10;$

$y_0=20—10=10;$

Итак, значит при сторонах 10 и 10см площадь прямоугольника наибольшая.

Ответ: 10см и 10см.