а) f(x)=3×4+2×2-[x]

Рассмотрим по отдельности три функции:

y=3×4 – чётная, так как y(x)=3×4=y(-x)=3(-x)4=3×4.

y=2×2=2∙1×2 – чётная по первому свойству, так как 1×2 является чётной функцией по третьему свойству.

y=-[x] – не является ни чётной, ни нечётной.

Следовательно, по свойству сложения двух чётных функций, изначальная функция f(x)=3×4+2/x2-[x] является чётной.

б) f(x)=4×5-3×3+2{x}

Рассмотрим по отдельности три функции:

y=4×5 – нечётная, так как так как: y(x)=4×5, а  y(-x)=-4×5, и тогда  y(x)≠y(-x).

y=-3×3=-3∙1×3 – нечётная по первому свойству, так как 1×3 является нечётной функцией по третьему свойству.

y=2{x}=2∙1{x} – не является ни чётной, ни нечётной также по первому свойству, так как 1{x} по третьему свойству тоже ни чётная, ни нечётная вследствие того, что {x} – функция дробная часть числа.

Итак, по свойству сложения двух нечётных функций,  f(x)=4×5-3×3+2{x} является нечётной функцией.

в) f(x)=2sgn{|x|}

Запишем функцию в виде: f(x)=2∙1sgn{|x|}.

Функция sgn{|x|} есть композиция нечётной функции sgn(x) и функции дробная часть числа {x}. В свою очередь, функция {|x|} есть композиция функции дробная часть числа {x} и чётной функции |x| Тогда по седьмому свойству {|x|} будет чётной функцией, и по тому же свойству sgn{|x|} также будет чётной функцией. Следовательно, 1sgn{|x|} будет чётной функцией по третьему свойству, а изначальная функция f(x)=2sgn{|x|} также является чётной по первому свойству.

г) f(x)=2xsgn[|x|]

Запишем функцию в виде: f(x)=2x∙1sgn[|x|]

Функция sgn[|x|] есть композиция нечётной функции sgn(x) и функции целая часть числа [x]. В свою очередь, функция [|x|] есть композиция функции целая часть числа [x] и чётной функции |x| Тогда по седьмому свойству [|x|]будет чётной функцией, и по тому же свойству sgn[|x|] также будет чётной функцией.

Функция y=2x является нечётной так как относится к типу y=kx.

Тогда изначальная функция f(x)=2xsgn[|x|] будет чётной по свойству произведения двух функций разной чётности.

Ответ: а) чётная; б) нечётная; в) чётная; г) нечётная.