Алгебра. 9 класс. Углублённый уровень
Условие
Докажите, что если f (x) — убывающая функция, a g(x) — возрастающая функция, то у = f(g(x)) — убывающая функция.
Докажите, что если f (x) — убывающая функция, a g(x) — возрастающая функция, то у = f(g(x)) — убывающая функция. Что в этом случае можно сказать о функции j(х) = g(f(x))? Сформулируйте свойство композиции двух функций с разным характером монотонности.
Решение #1

Допустим, что функция f(x) всегда уменьшается, а функция g(x) всегда увеличивается. Тогда функция y, представляющая собой композицию этих функций, а именно f(g(x)), также будет уменьшаться.

Рассмотрим произвольные значения x1{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»} и x2{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»}, где x2 больше x1{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»}. Поскольку g(x) возрастает, то g(x2{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»}) будет больше g(x1{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»}). В свою очередь, так как f(x) убывает, то f(g(x2{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»})) будет меньше f(g(x1{«color»:»#202335″,»fontFamily»:»stix»,»language»:»ru»})).

Следовательно, мы видим, что с ростом x значение y = f(g(x)) уменьшается, то есть функция y убывает.

Иначе говоря, если соединить убывающую и возрастающую функции таким образом, что сначала применяется возрастающая, а затем убывающая, то полученная функция также будет убывающей.

Сообщить об ошибке
Сообщитe об ошибке