15 стр. 9, Алгебра. 9 класс. Углублённый уровень

Алгебра. 9 класс. Углублённый уровень

15 стр. 9

Условие

Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство.

Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство

$(a + 1) (b + 1) (a b + 1) > 8 a b$

Решение #1

$(a + 1) (b + 1) (a b + 1) > 8 a b, a \geq 0, b \geq 0$

Воспользуемся равенством среднего арифметического и геометрического:

$a + 1 \geq \sqrt{2} a$

$b + 1 \geq \sqrt{2} b$

$a b + 1 \geq \sqrt{2} a b$

Тогда получаем,что при a>0 и b>0:

$(a + 1) (b + 1) (a b + 1) > \sqrt{2} a * \sqrt{2} b * \sqrt{2} a b = > (a + 1) (b + 1) (a b + 1) > 8 \sqrt{a^{2}} \sqrt{b^{2}}$

Значит:

$(a + 1) (b + 1) (a b + 1) > 8 a b$

Сообщить об ошибке