9 стр. 10, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 9 стр. 10

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

9 стр. 10

Условие

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:

$1) (\sqrt{8} — 3) (3 + 2 \sqrt{2}); 2) (\sqrt{27} — 2) (2 — 3 \sqrt{3}); 3) (\sqrt{50} + 4 \sqrt{2}) \sqrt{2}; 4) (5 \sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}; 5) {(\sqrt{3} — 1)}^{2} + {(\sqrt{3} + 1)}^{2}; 6) {(\sqrt{5} — 1)}^{2} — {(2 \sqrt{5} + 1)}^{2} .$

Решение #1

Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь (например, корни, логарифмы и тд).

Рациональные числа— это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

$1) (\sqrt{8} — 3) (3 + 2 \sqrt{2})$ $2 \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8},$

тогда

$(\sqrt{8} — 3) (3 + \sqrt{8}) .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$(a — b) (a + b) = a^{2} — b^{2},$

тогда

$(\sqrt{8} — 3) (3 + 2 \sqrt{2}) = (\sqrt{8} — 3) (2 \sqrt{2} + 3) = {(\sqrt{8})}^{2} — 3^{2} = 8 — 9 = — 1 .$ $— 1$

является рациональным числом.

$2) (\sqrt{27} — 2) (2 — 3 \sqrt{3})$ $3 \sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27},$

тогда

$(\sqrt{27} — 2) (2 — \sqrt{27}) = — (2 — \sqrt{27}) (2 — \sqrt{27}) = — {(2 — \sqrt{27})}^{2} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2},$

тогда

$— {(2 — \sqrt{27})}^{2} = — (2^{2} — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{27} + {(\sqrt{27})}^{2}) = — (4 — 4 \sqrt{9 \cdot 3} + 27) = — (31 — 4 \cdot 3 \sqrt{3}) = — (31 — 12 \sqrt{3}) = — 31 + 12 \sqrt{3} .$ $— 31 + 12 \sqrt{3}$

является иррациональным числом.

$3) (\sqrt{50} + 4 \sqrt{2}) \sqrt{2} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{50 \cdot 2} + 4 \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{100} + 4 \sqrt{4} = 10 + 4 \cdot 2 = 10 + 8 = 18 .$ $18$

является рациональным числом.

$4) (5 \sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3},$

тогда

$(5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) : \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} : \sqrt{3} = 8 .$ $8$

является рациональным числом.

$5) {(\sqrt{3} — 1)}^{2} + {(\sqrt{3} + 1)}^{2}$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2},$ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2},$

тогда

${(\sqrt{3} — 1)}^{2} + {(\sqrt{3} + 1)}^{2} = ({(\sqrt{3})}^{2} — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + 1^{2}) + ({(\sqrt{3})}^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + 1^{2}) = (3 — 2 \sqrt{3} + 1) + (3 + 2 \sqrt{3} + 1) = 4 — 2 \sqrt{3} + 4 + 2 \sqrt{3} = 8 .$ $8$

является рациональным числом.

$6) {(\sqrt{5} — 1)}^{2} — {(2 \sqrt{5} + 1)}^{2}$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2},$ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2},$

тогда

${(\sqrt{5} — 1)}^{2} — {(2 \sqrt{5} + 1)}^{2} = ({(\sqrt{5})}^{2} — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + 1^{2}) — ({(2 \sqrt{5})}^{2} — 2 \cdot 1 \cdot 2 \sqrt{5} + 1^{2}) = (5 — 2 \sqrt{5} + 1) — (4 \cdot 5 — 4 \sqrt{5} + 1) = (6 — 2 \sqrt{5}) — (21 + 4 \sqrt{5}) = 6 — 2 \sqrt{5} — 21 — 4 \sqrt{5} = — 6 \sqrt{5} — 15 .$ $— 6 \sqrt{5} — 15$

является иррациональным числом.

Сообщить об ошибке

1...91011...155