$\sqrt{43+30\sqrt{2}}+\sqrt{43—30\sqrt{2}}.$ $\sqrt{43+30\sqrt{2}}+\sqrt{43—30\sqrt{2}}=\sqrt{43+2·5·3\sqrt{2}}+\sqrt{43—2·5·3\sqrt{2}}=\sqrt{43+2·5·3\sqrt{2}}+\sqrt{43—2·5·3\sqrt{2}}=\sqrt{25+18+2·5·3\sqrt{2}}+\sqrt{25+18—2·5·3\sqrt{2}}=\sqrt{5^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2+2·5·3\sqrt{2}}+\sqrt{5^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2—2·5·3\sqrt{2}}.$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2, {\left(a—b\right)}^2=a^2—2ab+b^2.$ $\sqrt{5^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2+2·5·3\sqrt{2}}+\sqrt{5^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2—2·5·3\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(5+3\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(5—3\sqrt{2}\right)}^2}=\left|5+3\sqrt{2}\right|+\left|5—3\sqrt{2}\right|.$

Модуль раскроем со знаком плюс так как:

$5>3\sqrt{2}$ ${\left(5\right)}^2>{\left(3\sqrt{2}\right)}^2$ $25>9·2$ $25>18$ $\left|5+3\sqrt{2}\right|+\left|5—3\sqrt{2}\right|=5+3\sqrt{2}+5—3\sqrt{2}=10.$