$b_1+b_2+b_3=39$ $\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{13}{27}$

Сумма бесконечно убывающей прогрессии вычесляется по формуле:

$S=\frac{b_1}{1—q}.$

Воспользуемся формулой для n-го члена прогресси

$b_n=b_1{q}^{n—1}.$ $b_1+b_2+b_3=39\Rightarrow b_1+b_{1}q+b_1{q}^2=39$ $\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{13}{27}\Rightarrow \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_{1}q}+\frac{1}{b_1{q}^2}=\frac{13}{27}\Rightarrow \frac{q^2+q+1}{b_1{q}^2}=\frac{13}{27}$

Составим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{b}_1+b_{1}q+b_1{q}^2=39\\ \frac{q^2+q+1}{b_1{q}^2}=\frac{13}{27},\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_1\left(1+q+q^2\right)=39\\ \frac{q^2+q+1}{b_1{q}^2}=\frac{13}{27},\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}1+q+q^2=\frac{39}{b_1}\\ 1+q+q^2=\frac{13}{27}{b}_1{q}^2.\end{array}\right.$

Так как слева одно и то же, значит можно приравнять правые части.

$\frac{39}{b_1}=\frac{13}{27}{b}_1{q}^2$ $13{b_1}^2{q}^2=39·27$ ${b_1}^2{q}^2=\frac{39·27}{13}$ ${b_1}^2{q}^2=81$

Так как по условию рассматривваем только прогерссию с положительными членами, то

$b_{1}q=9.$ $\left\{\begin{array}{l}{b}_{1}q=9\\ q^2+q+1=\frac{13}{27}{b}_1{q}^2,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_{1}q=9\\ q^2+q+1=\frac{13}{27}{b}_1·q·q,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_{1}q=9\\ q^2+q+1=\frac{13}{27}·9·q,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_{1}q=9\\ q^2+q+1=\frac{13}{3}q.\end{array}\right.$ $q^2+q+1=\frac{13}{3}q |·3$ $3q^2+3q+3=13q$ $3q^2—10q+3=0$ $D={\left(—10\right)}^2—4·3·3=100—36=64$ $q_1=\frac{—(—10)+\sqrt{64}}{2·3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$ $q_2=\frac{—(—10)—\sqrt{64}}{2·3}=\frac{10—8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если

$\left|q\right|<1,$

значит

$q=\frac{1}{3}.$ $b_{1}q=9\Rightarrow \frac{b_1}{3}=9\Rightarrow b_1=27.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{27}{1—{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{27}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}=27:\frac{2}{3}=27·\frac{3}{2}=40,5.$