1. Пусть
   $х=1,10\left(209\right)=1,10209209...$

Тогда

$100x=110,209209..., 100000x=110209,209209...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}100х=110,209209...\\ 100000х=110209,209209...\end{array}\right.=> —99900x=—110099 => x=\frac{—110099}{—99900}=>x=1\frac{10199}{99900}.$

2) Пусть

$х=0,108\left(32\right)=0,1083232...$

Тогда

$1000x=108,3232..., 100000x=10832,3232...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}1000х=108,3232...\\ 100000х=10832,3232...\end{array}\right.=> —99000x=—10724=> x=\frac{—10724}{—99000}=>x=\frac{10724}{99000}=\frac{5362}{49500}=\frac{2681}{24750}.$