$1) b_2=—81, S_2=162.$

Геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если

$\left|q\right|<1$ $S_2=b_1+b_2$ $162=b_1—81$ $b_1=162+81$ $b_1=243$ $q=\frac{b_2}{b_2}=\frac{—81}{243}=—\frac{1}{3}$

Так как

$\left|q\right|=\left|—\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}<1$

значит данная последовательность является бесконечно убывающей.

$2) b_2=33, S_2=67.$

Геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если

$\left|q\right|<1$ $S_2=b_1+b_2$ $67=b_1+33$ $b_1=67—33$ $b_1=34$ $q=\frac{b_2}{b_2}=\frac{33}{34}$

Так как

$\left|q\right|=\left|\frac{33}{34}\right|=\frac{33}{34}<1$

значит данная последовательность является бесконечно убывающей.

$3) b_1+b_2=130, b_1—b_3=120.$

Воспользуемся формулой для n-го члена прогрессии

$b_n=b_1{q}^{n—1}.$

Составим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{b}_1+b_2=130\\ b_1—b_3=120,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{b}_1+b_{1}q=130\\ b_1—b_1{q}^2=120,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{b}_1\left(1+q\right)=130\\ b_1—b_1{q}^2=120,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_1\left(1+q\right)=130\\ b_1\left(1—q^2\right)=120,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_1=\frac{130}{1+q}\\ b_1=\frac{120}{1—q^2}\end{array}\right..$

Так как слева одно и то же, значит можно приравнять правые части.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$ $\frac{130}{1+q}=\frac{120}{1—q^2}$ $\frac{130}{1+q}=\frac{120}{\left(1—q\right)\left(1+q\right)}$ $\frac{130\left(1—q\right)}{\left(1+q\right)\left(1—q\right)}=\frac{120}{\left(1—q\right)\left(1+q\right)}$ $130\left(1—q\right)=120$ $130—130q=120$ $—130q=—10$ $q=\frac{1}{13}.$

Так как

$\left|q\right|=\left|\frac{1}{13}\right|=\frac{1}{13}<1$

значит данная последовательность является бесконечно убывающей.

$4) b_2+b_4=68, b_2—b_4=60.$

Составим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{b}_2+b_4=68\\ b_2—b_4=60,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{b}_2=68—b_4\\ 68—b_4—b_4=60\end{array}\right.$ $68—b_4—b_4=60$ $68—2b_4=60$ $—2b_4=—8$ $b_4=4$ $b_2=68—b_4=68—4=64.$

Воспользуемся формулой для n-го члена прогресси

$b_n=b_1{q}^{n—1}.$ $\left\{\begin{array}{l}{b}_4=4\\ b_2=64, \end{array}\left\{\begin{array}{l}{b}_1{q}^3=4\\ b_{1}q=64,\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{l}\frac{64}{q}{q}^3=4\\ b_1=\frac{64}{q},\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}64q^2=4\\ b_1=\frac{64}{q}.\end{array}\right.$ $64q^2=4$ $q^2=\frac{1}{16}$ $q=\pm \frac{1}{4}$

В том что получается

$\pm$

нет ничего страшного, это означает, что возможны два варианта и данных недостаточно.

Так как

$\left|q\right|=\left|\pm \frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1$

значит данная последовательность является бесконечно убывающей.