88 стр. 34, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 88 стр. 34

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

88 стр. 34

Условие

Упростить выражение.

$1) \frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}};$ $2) \frac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}};$ $3) \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a — b} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}};$ $4) \frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}{a + b} — \frac{1}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} .$

Решение #1

$1) \frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} .$

Приведем дроби к общему знаменателю и воспользуемся свойством корней

$\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}} .$ $\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} — \frac{(a + b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) — (a + b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b)$

и свойством степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $\frac{(a — b) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) — (a + b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a a^{\frac{1}{3}} + a b^{\frac{1}{3}} — b a^{\frac{1}{3}} — b b^{\frac{1}{3}} — a a^{\frac{1}{3}} + a b^{\frac{1}{3}} — b a^{\frac{1}{3}} + b b^{\frac{1}{3}}}{{(a^{\frac{1}{3}})}^{2} — {(b^{\frac{1}{3}})}^{2}} = \frac{2 a b^{\frac{1}{3}} — 2 b a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{2 a b^{\frac{1}{3}} — 2 b a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = \frac{2 a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} — 2 b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = \frac{2 a^{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} — 2 b^{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = \frac{2 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} (a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = 2 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} .$ $2) \frac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} .$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} — a b + b^{2}), a^{3} — b^{3} = (a — b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$ $\frac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} — \frac{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} — (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2 b^{\frac{1}{3}} .$ $3) \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a — b} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{3} — b^{3} = (a — b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$ $\frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a — b} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} — \frac{(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} — (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}{a — b} = \frac{— a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a — b} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{b — a} .$ $4) \frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}{a + b} — \frac{1}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} — a b + b^{2}) .$ $\frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}{a + b} — \frac{1}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} — \frac{1}{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} — \frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} — (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a + b} = \frac{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}{a + b} = \frac{— 2 b^{\frac{1}{3}}}{a + b} .$

Сообщить об ошибке

1...404142...155