87 стр. 34, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 87 стр. 34

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

87 стр. 34

Условие

Упростить выражение.

$1) \frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{a b^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2 a^{2}}{a — b};$ $2) \frac{3 x y — y^{2}}{x — y} — \frac{y \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}};$ $3) \frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}};$ $4) \frac{\sqrt[3]{a^{2}} — \sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}}$

Решение #1

$1) \frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{a b^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2 a^{2}}{a — b} .$

Приведем первую и вторую дробь к общему знаменателю.

$\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{a b^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a b^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2}} (\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} — \sqrt{b})} + \frac{a b^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})} — \frac{2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2}} (\sqrt{a} — \sqrt{b}) + a b^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} — \sqrt{b})} — \frac{2 a^{2}}{a — b} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{a^{\frac{3}{2}} (\sqrt{a} — \sqrt{b}) + a b^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} — \sqrt{b})} — \frac{2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2}} (\sqrt{a} — \sqrt{b}) + a b^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{(\sqrt{a})}^{2} — {(\sqrt{b})}^{2}} — \frac{2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2}} (\sqrt{a} — \sqrt{b}) + a b^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a — b} — \frac{2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2}} (\sqrt{a} — \sqrt{b}) + a b^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b}) — 2 a^{2}}{a — b} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{a^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} + a b^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} — 2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} — a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{1 + \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} — 2 a^{2}}{a — b} = \frac{a^{2} — a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a b^{1} — 2 a^{2}}{a — b} = \frac{a b — a^{2}}{a — b} = \frac{— a (a — b)}{(a — b)} = — a .$ $2) \frac{3 x y — y^{2}}{x — y} — \frac{y \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} .$

Приведем вторую и третью дробь к общему знаменателю.

$\frac{3 x y — y^{2}}{x — y} — \frac{y \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{3 x y — y^{2}}{x — y} + \frac{— y \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})} — \frac{y \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} — \sqrt{y})} = \frac{3 x y — y^{2}}{x — y} + \frac{— y \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — y \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{3 x y — y^{2}}{x — y} + \frac{— y \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — y \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{3 x y — y^{2}}{x — y} + \frac{— y \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — y \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{{(\sqrt{x})}^{2} — {(\sqrt{y})}^{2}} = \frac{3 x y — y^{2}}{x — y} + \frac{— y \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — y \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{x — y} = \frac{3 x y — y^{2} — y \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — y \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{x — y} = \frac{y (3 x — y — \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y}))}{x — y} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}} .$ $\frac{y (3 x — y — \sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — \sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y}))}{x — y} = \frac{y (3 x — y — y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) — x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}))}{x — y} = \frac{y (3 x — y — y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} — x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x — y} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{y (3 x — y — y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} — x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x — y} = \frac{y (3 x — y — y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} — x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x — y} = \frac{y (3 x — y — y^{1} — x^{1})}{x — y} = \frac{y (2 x — 2 y)}{x — y} = \frac{2 y (x — y)}{x — y} = 2 y .$ $3) \frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}} .$

Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{(a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} — \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{(a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}) — {(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}^{2}}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, {(a b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n} .$ $\frac{(a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}) — {(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}^{2}}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} — \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{(a^{\frac{2}{3}} — {(a b)}^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) — {(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}^{2}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{2 \cdot \frac{1}{3}} — {(a b)}^{\frac{1}{3}} + b^{2 \cdot \frac{1}{3}})} = \frac{(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) — {(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}^{2}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2})} .$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} — a b + b^{2}), {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$ $\frac{(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) — {(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}^{2}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2})} = \frac{(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) — ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} + 2 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2})}{{(a^{\frac{1}{3}})}^{3} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{3}} = \frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{2}{3}} — 2 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}{a + b} = \frac{— 3 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a + b} = \frac{— 3 \sqrt[3]{a b}}{a + b} .$ $4) \frac{\sqrt[3]{a^{2}} — \sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}} .$

Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{\sqrt[3]{a^{2}} — \sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{(\sqrt[3]{a^{2}} — \sqrt[3]{b^{2}}) (a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} — \frac{(a — b) (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})}{(a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}) (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})} = \frac{(\sqrt[3]{a^{2}} — \sqrt[3]{b^{2}}) (a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}) — (a — b) (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, {(a b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n} .$ $\frac{(\sqrt[3]{a^{2}} — \sqrt[3]{b^{2}}) (a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}}) — (a — b) (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}) (a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{a b} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{({(a^{2})}^{\frac{1}{3}} — {(b^{2})}^{\frac{1}{3}}) (a^{2 \cdot \frac{1}{3}} + {(a b)}^{\frac{1}{3}} + b^{2 \cdot \frac{1}{3}}) — (a — b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{2 \cdot \frac{1}{3}} + {(a b)}^{\frac{1}{3}} + b^{2 \cdot \frac{1}{3}})} = \frac{({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} — {(b^{\frac{1}{3}})}^{2}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2}) — (a — b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2})} .$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

$a^{3} — b^{3} = (a — b) (a^{2} + a b + b^{2}), a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} — {(b^{\frac{1}{3}})}^{2}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2}) — (a — b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2})} = \frac{(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) ({(a^{\frac{1}{3}})}^{2} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + {(b^{\frac{1}{3}})}^{2}) — (a — b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{{(a^{\frac{1}{3}})}^{3} — {(b^{\frac{1}{3}})}^{3}} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) — (a — b) (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})}{a — b} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} — (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}))}{a — b} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2 b^{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt[3]{b} .$

Сообщить об ошибке

1...414243...155