88 стр. 34, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 88 стр. 34

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

88 стр. 34

Условие

Упростить выражение.

$1) \frac{x + y}{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + \frac{x — y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}};$ $2) \frac{{(a — b)}^{2}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{2} — b^{2}}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)};$ $3) (\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}) : (4 x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) .$

Решение #1

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

$a^{3} — b^{3} = (a — b) (a^{2} + a b + b^{2}), a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} — a b + b^{2}), a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{x + y}{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + \frac{x — y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}} = \frac{(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) (x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + \frac{(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}) (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} — \frac{(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}) (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}} — (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) = 2 x^{\frac{1}{3}} — x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}} .$ $2) \frac{{(a — b)}^{2}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{2} — b^{2}}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} .$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

$a^{3} — b^{3} = (a — b) (a^{2} + a b + b^{2}), a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{{(a — b)}^{2}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{2} — b^{2}}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a — b) (a — b)}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} + \frac{(a — b) (a + b)}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} + \frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a + b)}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} + \frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a + b)}{(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} .$ $\frac{(a — b) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} + \frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a + b)}{(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a — b) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) + (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a + b)}{(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{2 (a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b} = \frac{2 (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b} = 2 (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) = 2 a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}} .$ $3) (\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}) : (4 x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} — a b + b^{2}) .$ $(\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}) : (4 x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) = (\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1)} + \frac{(x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1)}{(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1)}) : \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1)} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} .$

Сообщить об ошибке

1...394041...155