33 стр. 79, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 33 стр. 79

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

33 стр. 79

Условие

Вычислить:

$1) (2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) \sqrt[3]{6}; 2) (5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{1000} .$

Решение #1

$1) (2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) \sqrt[3]{6} .$

Воспользуемся свойством степеней

${(a b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{n}{m}} .$ $(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) \sqrt[3]{6} = (2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) \cdot 6^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) \cdot {(3 \cdot 2)}^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} .$

Раскроем скобки и воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}}) 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{— \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2^{— \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^{0} — 3^{\frac{6}{3}} \cdot 2^{0} = 2^{2} \cdot 1 — 3^{2} \cdot 1 = 4 — 9 = — 5 .$ $2) (5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{1000} .$

Воспользуемся свойством степеней

${(a b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{n}{m}} .$ $(5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{1000} = (5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{10^{3}} = (5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \cdot 10^{\frac{3}{4}} = (5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \cdot {(5 \cdot 2)}^{\frac{3}{4}} = (5^{\frac{1}{4}} : 2^{^{\frac{3}{4}}} — 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \cdot 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = (\frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{^{\frac{3}{4}}}} — \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}}) \cdot 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} .$

Раскроем скобки и воспользуемся свойствами степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}, a^{n} : a^{m} = a^{n — m} .$ $(\frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{^{\frac{3}{4}}}} — \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}}) \cdot 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{^{\frac{3}{4}}}} — \frac{2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} = 5^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4} — \frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4} — \frac{3}{4}} = 5^{\frac{4}{4}} \cdot 2^{0} — 2^{\frac{4}{4}} \cdot 5^{0} = 5 \cdot 1 — 2 \cdot 1 = 5 — 2 = 3 .$

Сообщить об ошибке

1...495051...155