78 стр. 33, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 78 стр. 33

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

78 стр. 33

Условие

Упростить выражение:

$1) \frac{a^{\frac{4}{3}} (a^{— \frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}} (a^{\frac{3}{4}} + a^{— \frac{1}{4}})}; 2) \frac{b^{\frac{1}{5}} (\sqrt[5]{b^{4}} — \sqrt[5]{b^{— 1}})}{b^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{— 2}})};$ $3) \frac{a^{\frac{5}{3}} b^{— 1} — a^{— \frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}}; 4) \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} .$

Решение #1

$1) \frac{a^{\frac{4}{3}} (a^{— \frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}} (a^{\frac{3}{4}} + a^{— \frac{1}{4}})} .$

Раскроем скобки и воспользуемся свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{a^{\frac{4}{3}} (a^{— \frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}} (a^{\frac{3}{4}} + a^{— \frac{1}{4}})} = \frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{— \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{— \frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{4}{3} + (— \frac{1}{3})} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4} + (— \frac{1}{4})}} = \frac{a^{1} + a^{2}}{a^{1} + a^{0}} = \frac{a + a^{2}}{a + 1} = \frac{a (1 + a)}{1 + a} = a .$ $2) \frac{b^{\frac{1}{5}} (\sqrt[5]{b^{4}} — \sqrt[5]{b^{— 1}})}{b^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{— 2}})} .$

Раскроем скобки и воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

и свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\frac{b^{\frac{1}{5}} (\sqrt[5]{b^{4}} — \sqrt[5]{b^{— 1}})}{b^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{b^{— 2}})} = \frac{b^{\frac{1}{5}} (b^{\frac{4}{5}} — b^{— \frac{1}{5}})}{b^{\frac{2}{3}} (b^{\frac{1}{3}} — b^{— \frac{2}{3}})} = \frac{b^{\frac{1}{5}} \cdot b^{\frac{4}{5}} — b^{\frac{1}{5}} \cdot b^{— \frac{1}{5}}}{b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{— \frac{2}{3}}} = \frac{b^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} — b^{\frac{1}{5} + (— \frac{1}{5})}}{b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3} + (— \frac{2}{3})}} = \frac{b^{\frac{5}{5}} — b^{\frac{1}{5} — \frac{1}{5}}}{b^{\frac{3}{3}} — b^{\frac{2}{3} — \frac{2}{3}}} = \frac{b^{1} — b^{0}}{b^{1} — b^{0}} = \frac{b — 1}{b — 1} = 1 .$ $3) \frac{a^{\frac{5}{3}} b^{— 1} — a^{— \frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{n} : a^{m} = a^{n — m}, a^{— n} = \frac{1}{a^{n}} .$ $\frac{a^{\frac{5}{3}} b^{— 1} — a^{— \frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{5}{3}} b^{— 1}}{a^{\frac{2}{3}}} — \frac{a^{— \frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{3} — \frac{2}{3}} b^{— 1} — a^{— \frac{1}{3} — \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} \cdot \frac{1}{b} — a^{— \frac{3}{3}} = \frac{a}{b} — a^{— 1} = \frac{a}{b} — \frac{1}{a} = \frac{a^{2}}{a b} — \frac{b}{a b} = \frac{a^{2} — b}{a b} .$ $4) \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

и свойством степеней

$a^{n} \cdot b^{n} = {(a b)}^{n} .$ $\frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = \frac{a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}} + b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = \frac{a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{2}{6}} (b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} = {(a b)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a b} .$

Сообщить об ошибке

1...505152...155