76 стр. 33, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 76 стр. 33

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

76 стр. 33

Условие

Вычислить:

$1) {(\frac{1}{16})}^{— 0, 75} + 810000^{0, 25} — {(7 \frac{19}{32})}^{\frac{1}{5}};$ $2) 27^{\frac{2}{3}} — {(— 2)}^{— 2} + {(3 \frac{3}{8})}^{— \frac{1}{3}};$ $3) {(0, 001)}^{— \frac{1}{3}} — 2^{— 2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{— 1 \frac{1}{3}};$ $4) {(— 0, 5)}^{— 4} — 625^{0, 25} — {(2 \frac{1}{4})}^{— 1 \frac{1}{2}} .$

Решение #1

$1) {(\frac{1}{16})}^{— 0, 75} + 810000^{0, 25} — {(7 \frac{19}{32})}^{\frac{1}{5}} .$

Переведем все дроби в неправильные.

${(\frac{1}{16})}^{— 0, 75} + 810000^{0, 25} — {(\frac{7 \cdot 32 + 19}{32})}^{\frac{1}{5}} = {(\frac{1}{16})}^{— 0, 75} + 810000^{0, 25} — {(\frac{243}{32})}^{\frac{1}{5}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}, a^{— n} = \frac{1}{a^{n}} .$ ${(\frac{1}{16})}^{— 0, 75} + 810000^{0, 25} — {(\frac{243}{32})}^{\frac{1}{5}} = {(\frac{1}{2^{4}})}^{— 0, 75} + {(30^{4})}^{0, 25} — {(\frac{3^{5}}{2^{5}})}^{\frac{1}{5}} = {({(\frac{1}{2})}^{4})}^{— 0, 75} + {(30^{4})}^{0, 25} — {({(\frac{3}{2})}^{5})}^{\frac{1}{5}} .$ ${({(\frac{1}{2})}^{4})}^{— 0, 75} + {(30^{4})}^{0, 25} — {({(\frac{3}{2})}^{5})}^{\frac{1}{5}} = {(\frac{1}{2})}^{— 0, 75 \cdot 4} + 30^{4 \cdot 0, 25} — {(\frac{3}{2})}^{5 \cdot \frac{1}{5}} = {(\frac{1}{2})}^{— 3} + 30^{1} — {(\frac{3}{2})}^{1} = 2^{3} + 30 — 1, 5 = 8 + 30 — 1, 5 = 36, 5 .$ $2) 27^{\frac{2}{3}} — {(— 2)}^{— 2} + {(3 \frac{3}{8})}^{— \frac{1}{3}} .$

Переведем дробь в неправильную.

$27^{\frac{2}{3}} — {(— 2)}^{— 2} + {(3 \frac{3}{8})}^{— \frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} — {(— 2)}^{— 2} + {(\frac{3 \cdot 8 + 3}{8})}^{— \frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} — {(— 2)}^{— 2} + {(\frac{27}{8})}^{— \frac{1}{3}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}, a^{— n} = \frac{1}{a^{n}} .$ $27^{\frac{2}{3}} — {(— 2)}^{— 2} + {(\frac{27}{8})}^{— \frac{1}{3}} = {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} — \frac{1}{{(— 2)}^{2}} + {(\frac{3^{3}}{2^{3}})}^{— \frac{1}{3}} = {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} — \frac{1}{{(— 2)}^{2}} + {({(\frac{3}{2})}^{3})}^{— \frac{1}{3}} .$ ${(3^{3})}^{\frac{2}{3}} — \frac{1}{{(— 2)}^{2}} + {({(\frac{3}{2})}^{3})}^{— \frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} — \frac{1}{4} + {(\frac{3}{2})}^{— 3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^{2} — \frac{1}{4} + {(\frac{3}{2})}^{— 1} = 9 — \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 12}{12} — \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{108}{12} — \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{113}{12} = 9 \frac{5}{12} .$ $3) {(0, 001)}^{— \frac{1}{3}} — 2^{— 2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{— 1 \frac{1}{3}} .$

Переведем дроби в неправильные.

${(0, 001)}^{— \frac{1}{3}} — 2^{— 2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{— 1 \frac{1}{3}} = {(\frac{1}{1000})}^{— \frac{1}{3}} — 2^{— 2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{— \frac{3 + 1}{3}} = {(\frac{1}{1000})}^{— \frac{1}{3}} — 2^{— 2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{— \frac{4}{3}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, a^{— n} = \frac{1}{a^{n}} .$ ${(\frac{1}{1000})}^{— \frac{1}{3}} — 2^{— 2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} — 8^{— \frac{4}{3}} = 1000^{\frac{1}{3}} — \frac{1}{2^{2}} \cdot {(4^{3})}^{\frac{2}{3}} — {(2^{3})}^{— \frac{4}{3}} = {(10^{3})}^{\frac{1}{3}} — \frac{1}{4} \cdot {(4^{3})}^{\frac{2}{3}} — {(2^{3})}^{— \frac{4}{3}} .$ ${(10^{3})}^{\frac{1}{3}} — \frac{1}{4} \cdot {(4^{3})}^{\frac{2}{3}} — {(2^{3})}^{— \frac{4}{3}} = 10^{\frac{1}{3} \cdot 3} — \frac{1}{4} \cdot 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} — 2^{— \frac{4}{3} \cdot 3} = 10^{1} — \frac{1}{4} \cdot 4^{2} — 2^{— 4} = 10 — \frac{1}{4} \cdot 16 — \frac{1}{2^{4}} = 10 — 4 — \frac{1}{16} = 10 — 4 — 0, 0625 = 5, 9375 .$ $4) {(— 0, 5)}^{— 4} — 625^{0, 25} — {(2 \frac{1}{4})}^{— 1 \frac{1}{2}} .$

Переведем все дроби в неправильные.

${(— 0, 5)}^{— 4} — 625^{0, 25} — {(2 \frac{1}{4})}^{— 1 \frac{1}{2}} = {(— \frac{1}{2})}^{— 4} — 625^{0, 25} — {(\frac{2 \cdot 4 + 1}{4})}^{— \frac{2 \cdot 1 + 1}{2}} = {(— \frac{1}{2})}^{— 4} — 625^{0, 25} — {(\frac{9}{4})}^{— \frac{3}{2}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}, a^{— n} = \frac{1}{a^{n}} .$ ${(— \frac{1}{2})}^{— 4} — 625^{0, 25} — {(\frac{9}{4})}^{— \frac{3}{2}} = {(— 2)}^{4} — {(5^{4})}^{0, 25} — {(\frac{3^{2}}{2^{2}})}^{— \frac{3}{2}} = {(— 2)}^{4} — {(5^{4})}^{0, 25} — {(\frac{2^{2}}{3^{2}})}^{\frac{3}{2}} = {(— 2)}^{4} — {(5^{4})}^{0, 25} — {({(\frac{2}{3})}^{2})}^{\frac{3}{2}} .$ ${(— 2)}^{4} — {(5^{4})}^{0, 25} — {({(\frac{2}{3})}^{2})}^{\frac{3}{2}} = 16 — 5^{4 \cdot 0, 25} — {(\frac{2}{3})}^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 16 — 5^{1} — {(\frac{2}{3})}^{3} = 16 — 5 — \frac{8}{27} = 11 — \frac{8}{27} = \frac{11 \cdot 27}{27} — \frac{8}{27} = \frac{297}{27} — \frac{8}{27} = \frac{289}{27} = 10 \frac{19}{27} .$

Сообщить об ошибке

1...515253...155