$1) a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ $a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}=a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a·a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a^{1+\frac{1}{3}}}=a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a^{\frac{4}{3}}}=a^{\frac{1}{9}}·a^{\frac{4}{3}·\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{9}}·a^{\frac{4}{18}}=a^{\frac{1}{9}}·a^{\frac{2}{9}}=a^{\frac{1}{9}+\frac{2}{9}}=a^{\frac{3}{9}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}.$ $2) b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ $b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{a}}=b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b·b^{\frac{1}{4}}}=b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b^{1+\frac{1}{4}}}=b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}}=b^{\frac{1}{12}}·a^{\frac{5}{4}·\frac{1}{3}}=b^{\frac{1}{12}}·b^{\frac{5}{12}}=b^{\frac{1}{12}+\frac{5}{12}}=b^{\frac{6}{12}}=b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{b}.$ $3) \left(\sqrt[3]{a{b}^{—2}}+{\left(ab\right)}^{—\frac{1}{6}}\right)\sqrt[6]{a{b}^4}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n.$ $\left(\sqrt[3]{a{b}^{—2}}+{\left(ab\right)}^{—\frac{1}{6}}\right)\sqrt[6]{a{b}^4}=\left({\left(a{b}^{—2}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(ab\right)}^{—\frac{1}{6}}\right){\left(a{b}^4\right)}^{\frac{1}{6}}=\left(a^{\frac{1}{3}}{b}^{—\frac{2}{3}}+a^{—\frac{1}{6}}{b}^{—\frac{1}{6}}\right)a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{4}{6}}=\left(a^{\frac{2}{6}}{b}^{—\frac{4}{6}}+a^{—\frac{1}{6}}{b}^{—\frac{1}{6}}\right)a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{4}{6}}.$

Раскроем скобки и воспользуемся свойством степеней

$a^n·a^m=a^{n+m}.$ $\left(a^{\frac{2}{6}}{b}^{—\frac{4}{6}}+a^{—\frac{1}{6}}{b}^{—\frac{1}{6}}\right)a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{4}{6}}=a^{\frac{2}{6}}{b}^{—\frac{4}{6}}{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{4}{6}}+a^{—\frac{1}{6}}{b}^{—\frac{1}{6}}{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{4}{6}}=a^{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}{b}^{—\frac{4}{6}+\frac{4}{6}}+a^{—\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}{b}^{—\frac{1}{6}+\frac{4}{6}}=a^{\frac{3}{6}}{b}^0+a^0{b}^{\frac{3}{6}}=a^{\frac{1}{2}}·1+1·b^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}.$ $4) \left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}—\sqrt[3]{ab}\right).$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, {\left(ab\right)}^n=a^n·b^n.$ $\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}—\sqrt[3]{ab}\right)=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{2·\frac{1}{3}}+b^{2·\frac{1}{3}}—{\left(ab\right)}^{\frac{1}{3}}\right)=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left({\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^2—a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}\right)=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left({\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^2—a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^2\right).$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2—ab+b^2\right).$ $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left({\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^2—a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^2\right)={\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^3=a^{\frac{1}{3}·3}+b^{\frac{1}{3}·3}=a+b.$