71 стр. 32, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 71 стр. 32

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

71 стр. 32

Условие

Вычислить:

$1) \frac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}}; 2) \frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}};$ $3) (25^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}}; 4) (2^{2 \sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3} — 1}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} .$

Решение #1

$1) \frac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}, a^{n} \cdot b^{n} = {(a b)}^{n} .$ $\frac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} = \frac{10^{2} \cdot 10^{\sqrt{7}}}{2^{2} \cdot 2^{\sqrt{7}} \cdot 5^{1} \cdot 5^{\sqrt{7}}} = \frac{100 \cdot 10^{\sqrt{7}}}{4 \cdot {(5 \cdot 2)}^{\sqrt{7}} \cdot 5} = \frac{100 \cdot 10^{\sqrt{7}}}{20 \cdot 10^{\sqrt{7}}} = \frac{100}{20} = 5 .$ $2) \frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}, a^{n} \cdot b^{n} = {(a b)}^{n} .$ $\frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} = \frac{6^{\sqrt{5}} \cdot 6^{3}}{2^{2} \cdot 2^{\sqrt{5}} \cdot 3^{1} \cdot 3^{\sqrt{5}}} = \frac{6^{\sqrt{5}} \cdot 216}{4 \cdot {(3 \cdot 2)}^{\sqrt{5}} \cdot 3} = \frac{6^{\sqrt{5}} \cdot 216}{12 \cdot 6^{\sqrt{5}}} = \frac{216}{12} = 18 .$ $3) (25^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}, {(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $(25^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} = ({(5^{2})}^{1 + \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} = (5^{2 (1 + \sqrt{2})} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} = (5^{2 + 2 \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} .$

Раскроем скобки:

$(5^{2 + 2 \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}}) \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} = 5^{2 + 2 \sqrt{2}} \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2}} \cdot 5^{— 1 — 2 \sqrt{2}} = 5^{2 + 2 \sqrt{2} — 1 — 2 \sqrt{2}} — 5^{2 \sqrt{2} — 1 — 2 \sqrt{2}} = 5^{1} — 5^{— 1} = 5 — \frac{1}{5} = 5 — 0, 2 = 4, 8 .$ $4) (2^{2 \sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3} — 1}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}, {(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $(2^{2 \sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3} — 1}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} = (2^{2 \sqrt{3}} — {(2^{2})}^{\sqrt{3} — 1}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} = (2^{2 \sqrt{3}} — 2^{2 (\sqrt{3} — 1)}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} = (2^{2 \sqrt{3}} — 2^{2 \sqrt{3} — 2}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} .$

Раскроем скобки:

$(2^{2 \sqrt{3}} — 2^{2 \sqrt{3} — 2}) \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} = 2^{2 \sqrt{3} \cdot} 2^{— 2 \sqrt{3}} — 2^{2 \sqrt{3} — 2} \cdot 2^{— 2 \sqrt{3}} = 2^{2 \sqrt{3} — 2 \sqrt{3}} — 2^{2 \sqrt{3} — 2 — 2 \sqrt{3}} = 2^{0} — 2^{— 2} = 1 — \frac{1}{2^{2}} = 1 — \frac{1}{4} = 0, 75 .$

Сообщить об ошибке

1...575859...155