$1)\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+{\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)}^3.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a}, {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}.$ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+{\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)}^3=\sqrt[3·3]{a^{18}}+{\left(\sqrt[2·3]{a^4}\right)}^3=\sqrt[9]{a^{18}}+{\left(\sqrt[6]{a^4}\right)}^3=\sqrt[9]{a^{9·2}}+\sqrt[6]{a^{3·4}}=\sqrt[9]{a^{9·2}}+\sqrt[6]{a^{2·6}}={\left(\sqrt[9]{a^9}\right)}^2+{\left(\sqrt[6]{a^6}\right)}^2=a^2+a^2=2a^2.$ $2) {\left(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^3+2{\left(\sqrt[4]{\sqrt{x}}\right)}^8.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a}, {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}.$ ${\left(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^3+2{\left(\sqrt[4]{\sqrt{x}}\right)}^8={\left(\sqrt[3·2]{x^2}\right)}^3+2{\left(\sqrt[4·2]{x}\right)}^8={\left(\sqrt[6]{x^2}\right)}^3+2{\left(\sqrt[8]{x}\right)}^8=\sqrt[6]{x^{2·3}}+2\sqrt[8]{x^8}=\sqrt[6]{x^6}+2\sqrt[8]{x^8}=x+2x=3x.$ $3)\sqrt[3]{\sqrt{x^6{y}^{12}}}—{\left(\sqrt[5]{x{y}^2}\right)}^5.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a}, {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}.$ $\sqrt[3]{\sqrt{x^6{y}^{12}}}—{\left(\sqrt[5]{x{y}^2}\right)}^5=\sqrt[2·3]{x^6{y}^{12}}—\sqrt[5]{{\left(x{y}^2\right)}^5}=\sqrt[6]{{\left(x{y}^2\right)}^6}—\sqrt[5]{{\left(x{y}^2\right)}^5}=x{y}^2—x{y}^2=0.$ $4)\left({\left(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}}\right)}^5—\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[10]{a^2}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a}, {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}.$ $\left({\left(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}}\right)}^5—\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[10]{a^2}=\left(\sqrt[5]{{\left(a\sqrt[5]{a}\right)}^5}—\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[5·2]{a^2}=\left(\sqrt[5]{{\left(a\sqrt[5]{a}\right)}^5}—\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[5]{\sqrt{a^2}}=\left(a\sqrt[5]{a}—\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{a}(a—1):\sqrt[5]{a}=a—1.$