43 стр. 22, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 43 стр. 22

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

43 стр. 22

Условие

Вычислить:

$1) \sqrt{\sqrt[3]{729}}; 2) \sqrt[5]{\sqrt{1024}}; 3) \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt[9]{3^{7}}; 4) \sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} .$

Решение #1

$1) \sqrt{\sqrt[3]{729}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} .$ $\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[3 \cdot 2]{729} = \sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^{6}} = 3 .$ $2) \sqrt[5]{\sqrt{1024}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} .$ $\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[5 \cdot 2]{1024} = \sqrt[10]{1024} = \sqrt[10]{2^{10}} = 2 .$ $3) \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt[9]{3^{7}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[n]{a b}$

и свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt[9]{3^{7}} = \sqrt[3 \cdot 3]{9} \cdot \sqrt[9]{3^{7}} = \sqrt[9]{9} \cdot \sqrt[9]{3^{7}} = \sqrt[9]{3^{2}} \cdot \sqrt[9]{3^{7}} = \sqrt[9]{3^{2} \cdot 3^{7}} = \sqrt[9]{3^{2 + 7}} = \sqrt[9]{3^{9}} = 3 .$ $4) \sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[n]{a b}$

и свойством степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} .$ $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} = \sqrt[4 \cdot 3]{25} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} = \sqrt[12]{25} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} = \sqrt[12]{5^{2}} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} = \sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[6]{5^{5}} = \sqrt[6]{5 \cdot 5^{5}} = \sqrt[6]{5^{1 + 5}} = \sqrt[6]{5^{6}} = 5 .$

Сообщить об ошибке

1...848586...155