160 стр. 63, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 160 стр. 63

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

160 стр. 63

Условие

Решить уравнение.

$1) \sqrt[3]{x — 2} = 2;$ $2) \sqrt[3]{2 x + 7} = \sqrt[3]{3 (x — 1)};$

$3) \sqrt[4]{25 x^{2} — 144} = x;$ $4) x^{2} = \sqrt{19 x^{2} — 34} .$

Решение #1

с $1) \sqrt[3]{x — 2} = 2$

Возведём обе части уравнения в $3$ степень:

${(\sqrt[3]{x — 2})}^{3} = 2^{3}$

$x — 2 = 8$

$x = 10$

Проверка:

$x = 10 :$ $\sqrt[3]{10 — 2} = 2$

$2 = 2$ (верно)

Ответ: $10 .$

$2) \sqrt[3]{2 x + 7} = \sqrt[3]{3 (x — 1)}$

Возведём обе части уравнения в $3$ степень:

${(\sqrt[3]{2 x + 7})}^{3} = {(\sqrt[3]{3 (x — 1)})}^{3}$

$2 x + 7 = 3 (x — 1)$

$2 x + 7 = 3 x — 3$

$2 x — 3 x = — 3 — 7$

$— x = — 10$

$x = 10$

Проверка:

$x = 10 :$ $\sqrt[3]{2 \cdot 10 + 7} = \sqrt[3]{3 (10 — 1)}$

$3 = 3$ (верно)

Ответ: $10 .$

$3) \sqrt[4]{25 x^{2} — 144} = x$

Возведём обе части уравнения в $4$ степень:

${(\sqrt[4]{25 x^{2} — 144})}^{4} = x^{4}$

$x^{4} — 25 x^{2} + 144 = 0$

Пусть $x^{2} = t,$ тогда

$t^{2} — 25 t + 144 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 25)}^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 144 = 49$

$t_{1} = \frac{— (— 25) + 7}{2} = 16$ $t_{2} = \frac{— (— 25) — 7}{2} = 9$

$x^{2} = 16$ $x^{2} = 9$

$x = \pm 4$ $x = \pm 3$

Проверка:

$x = 4 :$ $\sqrt[4]{25 \cdot 4^{2} — 144} = 4$

$4 = 4$ (верно)

$x = — 4 :$ $\sqrt[4]{25 \cdot {(— 4)}^{2} — 144} = — 4$

$4 = — 4$ (неверно)

$x = — 3 :$ $\sqrt[4]{25 \cdot {(— 3)}^{2} — 144} = — 3$

$3 = — 3$ (неверно)

$x = 3 :$ $\sqrt[4]{25 \cdot 3^{2} — 144} = 3$

$3 = 3$ (верно)

Ответ: $3; 4 .$

$4) x^{2} = \sqrt{19 x^{2} — 34}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${(x^{2})}^{2} = {(\sqrt{19 x^{2} — 34})}^{2}$

$x^{4} = 19 x^{2} — 34$

$x^{4} — 19 x^{2} + 34 = 0$

Пусть $x^{2} = t,$ тогда

$t^{2} — 19 t + 34 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 19)}^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 34 = 225$

$t_{1} = \frac{— (— 19) + 15}{2} = 17$ $t_{2} = \frac{— (— 19) — 15}{2} = 2$

$x^{2} = 17$ $x^{2} = 2$

$x = \pm \sqrt{17}$ $x = \pm \sqrt{2}$

Проверка:

$x = \sqrt{17} :$ ${(\sqrt{17})}^{2} = \sqrt{19 \cdot {(\sqrt{17})}^{2} — 34}$

$17 = 17$ (верно)

$x = — \sqrt{17} :$ ${(— \sqrt{17})}^{2} = \sqrt{19 \cdot {(— \sqrt{17})}^{2} — 34}$

$17 = 17$ (верно)

$x = — \sqrt{2} :$ ${(— \sqrt{2})}^{2} = \sqrt{19 \cdot {(— \sqrt{2})}^{2} — 34}$

$2 = 2$ (верно)

$x = \sqrt{2} :$ ${(\sqrt{2})}^{2} = \sqrt{19 \cdot {(\sqrt{2})}^{2} — 34}$

$2 = 2$ (верно)

Ответ: $\pm \sqrt{17}; \pm \sqrt{2} .$

Сообщить об ошибке

1...147148149...155