159 стр. 63, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 159 стр. 63

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

159 стр. 63

Условие

Решить уравнение.

Решить уравнение.
$1) \sqrt{1 — 2 x} — \sqrt{13 + x} = \sqrt{x + 4};$

$2) \sqrt{7 x + 1} — \sqrt{6 — x} = \sqrt{15 + 2 x} .$

Решение #1

$1) \sqrt{1 — 2 x} — \sqrt{13 + x} = \sqrt{x + 4}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:
${(\sqrt{1 — 2 x} — \sqrt{13 + x})}^{2} = {(\sqrt{x + 4})}^{2}$

$(1 — 2 x) — 2 \sqrt{1 — 2 x} \sqrt{13 + x} + (13 + x) = x + 4$

$1 — 2 x + 13 + x — x — 4 = 2 \sqrt{1 — 2 x} \sqrt{13 + x}$

$10 — 2 x = 2 \sqrt{1 — 2 x} \sqrt{13 + x}$

Разделим обе части уравнения на $2 :$

$5 — x = \sqrt{(1 — 2 x) (13 + x)}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${(5 — x)}^{2} = {(\sqrt{(1 — 2 x) (13 + x)})}^{2}$

$25 — 10 x + x^{2} = (1 — 2 x) (13 + x)$

$25 — 10 x + x^{2} = — 2 x^{2} — 25 x + 13$

$3 x^{2} + 15 x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на $3 :$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = 5^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9$

$x_{1} = \frac{— 5 + 3}{2} = — 1$

$x_{2} = \frac{— 5 — 3}{2} = — 4$

Проверка:

$x = — 1 :$ $\sqrt{1 — 2 \cdot (— 1)} — \sqrt{13 + (— 1)} = \sqrt{— 1 + 4}$

$\sqrt{3} — \sqrt{12} = \sqrt{3}$

$— \sqrt{12} = 0$ (неверно)

$x = — 4 :$ $\sqrt{1 — 2 \cdot (— 4)} — \sqrt{13 + (— 4)} = \sqrt{— 4 + 4}$

$\sqrt{9} — \sqrt{9} = \sqrt{0}$

$0 = 0$ (верно)

Ответ: $— 4 .$

$2) \sqrt{7 x + 1} — \sqrt{6 — x} = \sqrt{15 + 2 x}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${(\sqrt{7 x + 1} — \sqrt{6 — x})}^{2} = {(\sqrt{15 + 2 x})}^{2}$

$(7 x + 1) — 2 \sqrt{7 x + 1} \sqrt{6 — x} + (6 — x) = 15 + 2 x$

$7 x + 1 + 6 — x — 15 — 2 x = 2 \sqrt{7 x + 1} \sqrt{6 — x}$

$4 x — 8 = 2 \sqrt{7 x + 1} \sqrt{6 — x}$

Разделим обе части уравнения на $2 :$

$2 x — 4 = \sqrt{(7 x + 1) (6 — x)}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${(2 x — 4)}^{2} = {(\sqrt{(7 x + 1) (6 — x)})}^{2}$

$4 x^{2} — 16 x + 16 = (7 x + 1) (6 — x)$

$4 x^{2} — 16 x + 16 = — 7 x^{2} + 41 x + 6$

$11 x^{2} — 57 x + 10 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 57)}^{2} — 4 \cdot 11 \cdot 10 = 2809 = 53^{2}$

$x_{1} = \frac{— (— 57) + 53}{2 \cdot 11} = 5$

$x_{2} = \frac{— (— 57) — 53}{2 \cdot 11} = \frac{2}{11}$

Проверка:

$x = 5 :$ $\sqrt{7 \cdot 5 + 1} — \sqrt{6 — 5} = \sqrt{15 + 2 \cdot 5}$

$\sqrt{36} — \sqrt{1} = \sqrt{25}$

$5 = 5$ (верно)

$x = \frac{2}{11} :$ $\sqrt{7 \cdot \frac{2}{11} + 1} — \sqrt{6 — \frac{2}{11}} = \sqrt{15 + 2 \cdot \frac{2}{11}}$

$\sqrt{\frac{25}{11}} — \sqrt{\frac{64}{11}} = \sqrt{\frac{169}{11}}$

$\frac{5}{\sqrt{11}} — \frac{8}{\sqrt{11}} = \frac{13}{\sqrt{11}}$

$— \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{13}{\sqrt{11}}$ (неверно)

Ответ: $5 .$

Сообщить об ошибке

1...146147148...155