Сумма бесконечно убывающей прогрессии вычисляется по формуле:

$S=\frac{b_1}{1—q}.$ $1) q=\frac{1}{2}, b_5=\frac{\sqrt{2}}{16}.$

Воспользуемся формулой геометрической прогрессии, чтобы найти

$b_n=b_1{q}^{n—1 }=> b_1=\frac{b_n}{q^{n—1}}.$ $b_1=\frac{b_5}{q^{5—1}}=\frac{b_5}{q^4}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{16}}}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{16}}}{{\displaystyle \frac{1}{16}}}=\frac{\sqrt{2}}{16}·\frac{16}{1}=\sqrt{2}.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{{\displaystyle \sqrt{2}}}{1—{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle \sqrt{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\sqrt{2}·\frac{2}{1}=2\sqrt{2}.$ $2) q=\frac{\sqrt{3}}{2}, b_4=\frac{9}{8}.$

Воспользуемся формулой геометрической прогрессии, чтобы найти

$b_n=b_1{q}^{n—1 }=> b_1=\frac{b_n}{q^{n—1}}.$ $b_1=\frac{b_4}{q^{4—1}}=\frac{b_4}{q^3}=\frac{{\displaystyle \frac{9}{8}}}{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^3}=\frac{{\displaystyle \frac{9}{8}}}{{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}}}=\frac{9}{8}·\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{9}{3\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{1—{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle \frac{2—\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{3}·\frac{2}{2—\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2—\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}·\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2—\sqrt{3}\right)·\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{4\sqrt{3}+2·3}{4—3}=\frac{4\sqrt{3}+6}{1}=4\sqrt{3}+6.$