21 стр. 16, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 21 стр. 16

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

21 стр. 16

Условие

Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

$1) b_{n} = 3 \cdot {(— 2)}^{n}; 2) b_{n} = — 5 \cdot 4^{n};$ $3) b_{n} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{n — 1}; 4) b_{n} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{n — 1} .$

Решение #1

Геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если

$| q | < 1$ $1) b_{n} = 3 \cdot {(— 2)}^{n} .$ $b_{0} = 3 \cdot {(— 2)}^{0} = 3 \cdot 1 = 3;$ $b_{1} = 3 \cdot {(— 2)}^{1} = 3 \cdot (— 2) = — 6;$ $b_{2} = 3 \cdot {(— 2)}^{2} = 3 \cdot 4 = 12;$ $b_{3} = 3 \cdot {(— 2)}^{3} = 3 \cdot {(— 2)}^{3} = 3 \cdot (— 8) = — 24 .$ $q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} .$ $q_{1} = \frac{b_{1}}{b_{0}} = \frac{— 6}{3} = — 2;$ $q_{2} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{12}{— 6} = — 2;$ $q_{3} = \frac{b_{3}}{b_{3}} = \frac{— 24}{12} = — 2 .$

Так как

$q_{1} = q_{2} = q_{3} = — 2$

, а

$|q| = |— 2| = 2 > 1$

, значит данная последовательность не является бесконечно убывающей.

$2) b_{n} = — 5 \cdot 4^{n} .$ $b_{0} = — 5 \cdot 4^{0} = — 5 \cdot 1 = — 5;$ $b_{1} = — 5 \cdot 4^{1} = — 5 \cdot 4 = — 20;$ $b_{2} = — 5 \cdot 4^{2} = — 5 \cdot 16 = — 80;$ $b_{3} = — 5 \cdot 4^{3} = — 5 \cdot 64 = — 320 .$ $q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} .$ $q_{1} = \frac{b_{1}}{b_{0}} = \frac{— 20}{— 5} = 4;$ $q_{2} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{— 80}{— 20} = 4;$ $q_{3} = \frac{b_{3}}{b_{3}} = \frac{— 320}{— 80} = 4 .$ $3) b_{n} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{n — 1} .$ $b_{0} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{0 — 1} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{— 1} = 8 \cdot (— 3) = — 24;$ $b_{1} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{1 — 1} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{0} = 8 \cdot 1 = 8;$ $b_{2} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{2 — 1} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{1} = 8 \cdot (— \frac{1}{3}) = — \frac{8}{3};$ $b_{3} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{3 — 1} = 8 \cdot {(— \frac{1}{3})}^{2} = 8 \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{9} .$ $q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} .$ $q_{1} = \frac{b_{1}}{b_{0}} = \frac{8}{— 24} = — \frac{1}{3};$ $q_{2} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{— \frac{8}{3}}{8} = — \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8} = — \frac{1}{3};$ $q_{3} = \frac{b_{3}}{b_{3}} = \frac{\frac{8}{9}}{— \frac{8}{3}} = \frac{8}{9} \cdot (— \frac{3}{8}) = — \frac{3}{9} = — \frac{1}{3} .$

Так как

$q_{1} = q_{2} = q_{3} = — \frac{1}{3}$

, а

$|q| = |— \frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$

значит данная последовательность является бесконечно убывающей.значит данная последовательность является геометрической прогрессией.

$4) b_{n} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{n — 1} .$ $b_{0} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{0 — 1} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{— 1} = 3 \cdot (— 2) = — 6;$ $b_{1} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{1 — 1} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{0} = 3 \cdot 1 = 3;$ $b_{2} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{2 — 1} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{1} = 3 \cdot (— \frac{1}{2}) = — 1, 5;$ $b_{3} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{3 — 1} = 3 \cdot {(— \frac{1}{2})}^{2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0, 75 .$ $q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} .$ $q_{1} = \frac{b_{1}}{b_{0}} = \frac{3}{— 6} = — \frac{1}{2};$ $q_{2} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{— 1, 5}{3} = — \frac{1}{2};$ $q_{3} = \frac{b_{3}}{b_{3}} = \frac{0, 75}{— 1, 5} = — \frac{1}{2} .$

Так как

$q_{1} = q_{2} = q_{3} = — \frac{1}{2}$

, а

$|q| = |— \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$

, значит данная последовательность является бесконечно убывающей.значит данная последовательность является геометрической прогрессией.

Сообщить об ошибке

1...105106107...155