$1) \sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^3+x^2}=0$

$\sqrt{x^2+2}=—\sqrt{x^3+x^2}$

Возведём обе части в квадрат:

${\left(\sqrt{x^2+2}\right)}^2={\left(—\sqrt{x^3+x^2}\right)}^2$

$x^2+2=x^3+x^2$

$x^3=2$

$x=\sqrt[3]{2}$

Проверка:

$x=\sqrt[3]{2}:$ $\sqrt{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2+2}+\sqrt{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}=0$

$\sqrt{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2+2}+\sqrt{2+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}=0$

$2\sqrt{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2+2}=0$ (неверно)

Ответ:  Нет решения.

$2) \sqrt[3]{1+x^4}=\sqrt[3]{1+x^2}$

Возведёс обе части в $3$ степень:

${\left(\sqrt[3]{1+x^4}\right)}^3={\left(\sqrt[3]{1+x^2}\right)}^3$

$1+x^4=1+x^2$

$x^4—x^2=0$

$x^2\left(x^2—1\right)=0$

$x^2\left(x—1\right)\left(x+1\right)=0$

$x^2=0$    $x—1=0$      $x+1=0$

$x=0$      $x=1$            $x=—1$

Проверка:

$x=0:$ $\sqrt[3]{1+0^4}=\sqrt[3]{1+0^2}$

$1=1$ (верно)

$x=1:$ $\sqrt[3]{1+1^4}=\sqrt[3]{1+1^2}$

$\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}$ (верно)

$x=0:$ $\sqrt[3]{1+{\left(—1\right)}^4}=\sqrt[3]{1+{\left(—1\right)}^2}$

$\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}$ (верно)

Ответ:  $0; \pm 1.$