156 стр. 62, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 156 стр. 62

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

156 стр. 62

Условие

Решить уравнение.

$1) \sqrt{2 x — 34} = 1 + \sqrt{x};$ $2) \sqrt{5 x} + \sqrt{14 — x} = 8;$

$3) \sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x} = 6;$ $4) \sqrt{3 — 2 x} — \sqrt{1 — x} = 1 .$

Решение #1

$1) \sqrt{2 x — 34} = 1 + \sqrt{x}$

Возведём обе части в квадрат:

${(\sqrt{2 x — 34})}^{2} = {(1 + \sqrt{x})}^{2}$

$2 x — 34 = 1 + 2 \sqrt{x} + x$

$x — 35 = 2 \sqrt{x}$

Возведём обе части в квадрат:

${(x — 35)}^{2} = {(2 \sqrt{x})}^{2}$

$x^{2} — 70 x + 35^{2} = 4 x$

$x^{2} — 74 x + 35^{2} = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 74)}^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 35^{2} = 576 = 24^{2}$

$x_{1} = \frac{— (— 74) + 24}{2} = 49$

$x_{2} = \frac{— (— 74) — 24}{2} = 25$

Проверка:

$x = 49 :$ $\sqrt{2 \cdot 49 — 34} = 1 + \sqrt{49}$

$8 = 8$ (верно)

$x = 25 :$ $\sqrt{2 \cdot 25 — 34} = 1 + \sqrt{25}$

$4 = 6$ (неверно)

Ответ: $49 .$

$2) \sqrt{5 x} + \sqrt{14 — x} = 8$

$\sqrt{14 — x} = 8 — \sqrt{5 x}$

Возведём обе части в квадрат:

${(\sqrt{14 — x})}^{2} = {(8 — \sqrt{5 x})}^{2}$

$14 — x = 64 — 16 \sqrt{5 x} + 5 x$

$16 \sqrt{5 x} = 50 + 6 x$

Возведём обе части в квадрат:

${(16 \sqrt{5 x})}^{2} = {(50 + 6 x)}^{2}$

$256 \cdot 5 x = 2500 + 600 x + 36 x^{2}$

$1280 x = 2500 + 600 x + 36 x^{2}$

$36 x^{2} — 680 x + 2500 = 0$

Разделим обе части уравнения на $4 :$

$9 x^{2} — 170 x + 625 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 170)}^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 625 = 6400 = 80^{2}$

$x_{1} = \frac{— (— 170) + 80}{2 \cdot 9} = \frac{125}{9}$

$x_{2} = \frac{— (— 170) — 80}{2 \cdot 9} = 5$

Проверка:

$x = \frac{125}{9} :$ $\sqrt{5 \cdot \frac{125}{9}} + \sqrt{14 — \frac{125}{9}} = 8$

$\frac{25}{3} + \frac{1}{3} = 8$

$\frac{26}{3} = 8$ (неверно)

$x = 5 :$ $\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 — 5} = 8$

$8 = 8$ (верно)

Ответ: $5 .$

$3) \sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x} = 6$

$\sqrt{15 + x} = 6 — \sqrt{3 + x}$

Возведём обе части в квадрат:

${(\sqrt{15 + x})}^{2} = {(6 — \sqrt{3 + x})}^{2}$

$15 + x = 36 — 12 \sqrt{3 + x} + 3 + x$

$12 \sqrt{3 + x} = 24$

$\sqrt{3 + x} = 2$

Возведём обе части в квадрат:

$3 + x = 4$

$x = 1$

Проверка:

$x = 1 :$ $\sqrt{15 + 1} + \sqrt{3 + 1} = 6$

$6 = 6$ (верно)

Ответ: $1 .$

$4) \sqrt{3 — 2 x} — \sqrt{1 — x} = 1$

$\sqrt{3 — 2 x} = 1 + \sqrt{1 — x}$

Возведём обе части в квадрат:

${(\sqrt{3 — 2 x})}^{2} = {(1 + \sqrt{1 — x})}^{2}$

$3 — 2 x = 1 + 2 \sqrt{1 — x} + 1 — x$

$1 — x = 2 \sqrt{1 — x}$

Возведём обе части в квадрат:

${(1 — x)}^{2} = {(2 \sqrt{1 — x})}^{2}$

$1 — 2 x + x^{2} = 4 (1 — x)$

$1 — 2 x + x^{2} = 4 — 4 x$

$x^{2} + 2 x — 3 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (— 3) = 16$

$x_{1} = \frac{— 2 + 4}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{— 2 — 4}{2} = — 3$

Проверка:

$x = 1 :$ $\sqrt{3 — 2 \cdot 1} — \sqrt{1 — 1} = 1$

$1 = 1$ (верно)

$x = — 3 :$ $\sqrt{3 — 2 \cdot (— 3)} — \sqrt{1 — (— 3)} = 1$

$1 = 1$ (верно)

Ответ: $— 3; 1 .$

Сообщить об ошибке

1...143144145...155