148 стр. 59, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 148 стр. 59

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

148 стр. 59

Условие

Найти корни уравнения:

$1) \frac{3}{x — 1} — \frac{4 x — 1}{x + 1} = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} — 1} — 5;$

$2) \frac{x + 2}{x — 2} — \frac{x (x — 4)}{x^{2} — 4} = \frac{x — 2}{x + 2} — \frac{4 (3 + x)}{4 — x^{2}} .$

Решение #1

$1) \frac{3}{x — 1} — \frac{4 x — 1}{x + 1} = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} — 1} — 5$

$\frac{3}{x — 1} — \frac{4 x — 1}{x + 1} = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} — 1} — 5$

$\frac{3}{x — 1} — \frac{4 x — 1}{x + 1} — \frac{x^{2} + 5}{x^{2} — 1} + 5 = 0$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$

$\frac{3}{x — 1} — \frac{4 x — 1}{x + 1} — \frac{x^{2} + 5}{(x — 1) (x + 1)} + 5 = 0$

Приведём все к общему знаменателю:

$\frac{3 (x + 1)}{(x — 1) (x + 1)} — \frac{(4 x — 1) (x — 1)}{(x + 1) (x — 1)} — \frac{x^{2} + 5}{(x — 1) (x + 1)} + \frac{5 (x — 1) (x + 1)}{(x — 1) (x + 1)} = 0$

$\frac{3 (x + 1) — (4 x — 1) (x — 1) — (x^{2} + 5) + 5 (x — 1) (x + 1)}{(x — 1) (x + 1)} = 0$

Дробь равна $0,$ когда числитель равен $0,$ а знаментаель не теряет смысла, то есть не равен $0 .$

$3 (x + 1) — (4 x — 1) (x — 1) — (x^{2} + 5) + 5 (x — 1) (x + 1) = 0$

$3 x + 3 — (4 x^{2} — 5 x + 1) — x^{2} — 5 + 5 (x^{2} — 1) = 0$

$3 x + 3 — 4 x^{2} + 5 x — 1 — x^{2} — 5 + 5 x^{2} — 5 = 0$

$8 x — 8 = 0$

$8 x = 8$

$x = 1$

Ответ: $1 .$

$2) \frac{x + 2}{x — 2} — \frac{x (x — 4)}{x^{2} — 4} = \frac{x — 2}{x + 2} — \frac{4 (3 + x)}{4 — x^{2}}$

$\frac{x + 2}{x — 2} — \frac{x (x — 4)}{x^{2} — 4} = \frac{x — 2}{x + 2} + \frac{4 (3 + x)}{x^{2} — 4}$

$\frac{x + 2}{x — 2} — \frac{x (x — 4)}{x^{2} — 4} — \frac{x — 2}{x + 2} — \frac{4 (3 + x)}{x^{2} — 4} = 0$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$

$\frac{x + 2}{x — 2} — \frac{x (x — 4)}{(x — 2) (x + 2)} — \frac{x — 2}{x + 2} — \frac{4 (3 + x)}{(x — 2) (x + 2)} = 0$

Приведём все к общему знаменателю:

$\frac{(x + 2) (x + 2)}{(x — 2) (x + 2)} — \frac{x (x — 4)}{(x — 2) (x + 2)} — \frac{(x — 2) (x — 2)}{(x + 2) (x — 2)} — \frac{4 (3 + x)}{(x — 2) (x + 2)} = 0$

$\frac{{(x + 2)}^{2} — x (x — 4) — {(x — 2)}^{2} — 4 (3 + x)}{(x — 2) (x + 2)} = 0$

Дробь равна $0,$ когда числитель равен $0,$ а знаментаель не теряет смысла, то есть не равен $0 .$

${(x + 2)}^{2} — x (x — 4) — {(x — 2)}^{2} — 4 (3 + x) = 0$

${(x + 2)}^{2} — {(x — 2)}^{2} — x (x — 4) — 4 (3 + x) = 0$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$

$((x + 2) — (x — 2)) ((x + 2) + (x — 2)) — x (x — 4) — 4 (3 + x) = 0$

$(x + 2 — x + 2) (x + 2 + x — 2) — x (x — 4) — 4 (3 + x) = 0$

$4 \cdot 2 x — x^{2} + 4 x — 12 — 4 x = 0$

$— x^{2} + 8 x — 12 = 0$

$x^{2} — 8 x + 12 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 8)}^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16$

$x_{1} = \frac{— (— 8) + 4}{2} = 6$

$x_{2} = \frac{— (— 8) — 4}{2} = 2$ не подходит, так как знаменатель обращается в $0 .$

Ответ: $6 .$

Сообщить об ошибке

1...136137138...155