Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

$1) |x|=\sqrt{5}$ и $\sqrt{x^2}=5$

$\left|x\right|=\sqrt{5}$

$x=—\sqrt{5}$    $x=\sqrt{5}$

$\sqrt{x^2}=5$

$\left|x\right|=5$

$x=—5$    $x=5$

Оба уравненния имеют разные корни, значит ни одно из них не является следствием из другого.

$2) \frac{x—2}{x+3}=\frac{x—3}{x+2}$ и $\left(x—2\right)\left(x+2\right)=\left(x—3\right)\left(x+3\right)$

$\frac{x—2}{x+3}=\frac{x—3}{x+2}$

$\frac{x—2}{x+3}—\frac{x—3}{x+2}=0$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{\left(x—2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}—\frac{\left(x—3\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=0$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$

$\frac{x^2—4}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}—\frac{x^2—9}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=0$

$\frac{x^2—4—\left(x^2—9\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=0$

$\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=0$

Дробь равна $0,$ когда числитель равен $0,$ а знаментаель не теряет смысла, то есть не равен $0.$

$5=0\Rightarrow$ неверно, значит нет решения

$\left(x—2\right)\left(x+2\right)=\left(x—3\right)\left(x+3\right)$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$

$x^2—4=x^2—9$

$—4=—9\Rightarrow$ неверно, значит нет решения

Уравнения $\frac{x—2}{x+3}=\frac{x—3}{x+2},$ $\left(x—2\right)\left(x+2\right)=\left(x—3\right)\left(x+3\right)$ являются равносильными , значит они являются следствием из друг друга, так как если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.