12 стр. 10, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 12 стр. 10

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

12 стр. 10

Условие

Вычислить:

$1) \sqrt{(\sqrt{7 — 2 \sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}};$ $2) \sqrt{(\sqrt{16 — 6 \sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3};$ $3) \sqrt{(\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} — \sqrt{8 — 2 \sqrt{15}}) \cdot 2 + 7} .$

Решение #1

$1) \sqrt{(\sqrt{7 — 2 \sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}} .$ $\sqrt{(\sqrt{7 — 2 \sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{2 + 5 — 2 \sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2},$

но в обратно направлении:

$2 + 5 — 2 \sqrt{10} = {(\sqrt{5})}^{2} — 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{5} — \sqrt{2})}^{2} .$ $\sqrt{(\sqrt{{(\sqrt{5} — \sqrt{2})}^{2}} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} — \sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5}} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10} .$ $2) \sqrt{(\sqrt{16 — 6 \sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3} .$ $\sqrt{(\sqrt{16 — 6 \sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3} = \sqrt{(\sqrt{9 + 7 — 6 \sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2},$

но в обратно направлении:

$9 + 7 — 6 \sqrt{7} = {(3)}^{2} — 2 \cdot 3 \sqrt{7} + {(\sqrt{7})}^{2} = {(3 — \sqrt{7})}^{2} .$ $\sqrt{(\sqrt{{(3 — \sqrt{7})}^{2}} + \sqrt{7}) \cdot 3} = \sqrt{(3 — \sqrt{7} + \sqrt{7}) \cdot 3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3 .$ $3) \sqrt{(\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} — \sqrt{8 — 2 \sqrt{15}}) \cdot 2 + 7} .$ $\sqrt{(\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} — \sqrt{8 — 2 \sqrt{15}}) \cdot 2 + 7} = \sqrt{(\sqrt{5 + 3 + 2 \sqrt{15}} — \sqrt{5 + 3 — 2 \sqrt{15}}) \cdot 2 + 7} .$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2},$ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2},$

но в обратно направлении:

$5 + 3 + 2 \sqrt{15} = {(\sqrt{5})}^{2} + 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2} .$ $5 + 3 — 2 \sqrt{15} = {(\sqrt{5})}^{2} — 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = {(\sqrt{5} — \sqrt{3})}^{2} .$ $\sqrt{(\sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}} — \sqrt{{(\sqrt{5} — \sqrt{3})}^{2}}) \cdot 2 + 7} = \sqrt{((\sqrt{5} + \sqrt{3}) — (\sqrt{5} — \sqrt{3})) \cdot 2 + 7} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3} — \sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot 2 + 7} = \sqrt{2 \cdot 2 \sqrt{3} + 7} = \sqrt{4 \sqrt{3} + 7} = \sqrt{4 \sqrt{3} + 3 + 4} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2},$

но в обратно направлении:

$4 + 3 + 4 \sqrt{3} = 2^{2} + 2 \cdot 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = {(2 + \sqrt{3})}^{2} .$ $\sqrt{{(2 + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3} .$

Сообщить об ошибке

1...121314...155