11 стр. 10, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 11 стр. 10

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

11 стр. 10

Условие

Сравнить числовые значения выражений:

$1) \sqrt{3, 9} + \sqrt{8}$

$\sqrt{1, 1} + \sqrt{17};$ $2) \sqrt{11} — \sqrt{2, 1}$

$\sqrt{10} — \sqrt{3, 1} .$

Решение #1

$1) \sqrt{3, 9} + \sqrt{8}$

$\sqrt{1, 1} + \sqrt{17} .$

Так как оба числа положительные, возведем их в квадрат, чтобы сравнить.

Предположим, что

$\sqrt{3, 9} + \sqrt{8} < \sqrt{1, 1} + \sqrt{17} .$ $\sqrt{3, 9} + \sqrt{8} < \sqrt{1, 1} + \sqrt{17}$ ${(\sqrt{3, 9} + \sqrt{8})}^{2} < {(\sqrt{1, 1} + \sqrt{17})}^{2}$ ${(\sqrt{3, 9})}^{2} + 2 \sqrt{3, 9} \cdot \sqrt{8} + {(\sqrt{8})}^{2} < {(\sqrt{1, 1})}^{2} + 2 \sqrt{1, 1} \cdot \sqrt{17} + {(\sqrt{17})}^{2}$ $3, 9 + 2 \sqrt{3, 9 \cdot 8} + 8 < 1, 1 + 2 \sqrt{1, 1 \cdot 17} + 17$ $11, 9 + 2 \sqrt{31, 2} < 18, 1 + 2 \sqrt{18, 7}$

Вычтем слева и справа

$11, 9 + 2 \sqrt{18, 7} .$ $11, 9 + 2 \sqrt{31, 2} — 11, 9 — 2 \sqrt{18, 7} < 18, 1 + 2 \sqrt{18, 7} — 11, 9 — 2 \sqrt{18, 7}$ $2 \sqrt{31, 2} — 2 \sqrt{18, 7} < 6, 2$ $2 (\sqrt{31, 2} — \sqrt{18, 7}) < 6, 2$

Разделим левую и правую часть на

$2 .$ $\sqrt{31, 2} — \sqrt{18, 7} < 3, 1$

Возведем обе части в квадрат

${(\sqrt{31, 2} — \sqrt{18, 7})}^{2} < 3, 1^{2}$ ${(\sqrt{31, 2})}^{2} — 2 \cdot \sqrt{31, 2} \cdot \sqrt{18, 7} + {(\sqrt{18, 7})}^{2} < 9, 61$ $31, 2 — 2 \sqrt{583, 44} + 18, 7 < 9, 61$ $49, 9 — 2 \sqrt{583, 44} < 9, 61$ $49, 9 — 2 \sqrt{583, 44} — 49, 9 < 9, 61 — 49, 9$ $— 2 \sqrt{583, 44} < — 40, 29 | \cdot (— 1)$ $2 \sqrt{583, 44} > 40, 29$ ${(2 \sqrt{583, 44})}^{2} > 40, 29^{2}$ $4 \cdot 583, 44 > 1623, 2841$ $2333, 76 > 1623, 2841$

Верно, значит

$\sqrt{3, 9} + \sqrt{8} < \sqrt{1, 1} + \sqrt{17} .$ $2) \sqrt{11} — \sqrt{2, 1}$

$\sqrt{10} — \sqrt{3, 1} .$

Так как оба числа положительные, возведем их в квадрат, чтобы сравнить.

Предположим, что

$\sqrt{11} — \sqrt{2, 1} > \sqrt{10} — \sqrt{3, 1} .$ $\sqrt{11} — \sqrt{2, 1} > \sqrt{10} — \sqrt{3, 1}$ ${(\sqrt{11} — \sqrt{2, 1})}^{2} > {(\sqrt{10} — \sqrt{3, 1})}^{2}$ ${(\sqrt{11})}^{2} — 2 \sqrt{11} \cdot \sqrt{2, 1} + {(\sqrt{2, 1})}^{2} > {(\sqrt{10})}^{2} — 2 \sqrt{10} \cdot \sqrt{3, 1} + {(\sqrt{3, 1})}^{2}$ $11 — 2 \sqrt{23, 1} + 2, 1 > 10 — 2 \sqrt{31} + 3, 1$ $13, 1 — 2 \sqrt{23, 1} > 13, 1 — 2 \sqrt{31}$

Вычтем слева и справа

$13, 1 .$ $13, 1 — 2 \sqrt{23, 1} — 13, 1 > 13, 1 — 2 \sqrt{31} — 13, 1$ $— 2 \sqrt{23, 1} > — 2 \sqrt{31} | : (— 2)$ $\sqrt{23, 1} < \sqrt{31}$ ${(\sqrt{23, 1})}^{2} < {(\sqrt{31})}^{2}$ $23, 1 < 31$

Верно, значит

$\sqrt{11} — \sqrt{2, 1} > \sqrt{10} — \sqrt{3, 1} .$

Сообщить об ошибке

1...111213...155