Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

$1) |x|=\sqrt{5}$

и

$\sqrt{x^2}=5;$ $\left|x\right|=\sqrt{5}$ $x=—\sqrt{5}$ $x=\sqrt{5}$ $\sqrt{x^2}=5$ $\left|x\right|=5$ $x=—5$ $x=5$

Оба уравнения имеют разные корни, значит ни одно из них не является следствием из другого.

$2) \frac{x—2}{x+3}=\frac{x—3}{x+2}$

и

$\left(x—2\right)\left(x+2\right)=\left(x—3\right)\left(x+3\right).$ $\frac{x—2}{x+3}=\frac{x—3}{x+2}$ $\frac{x—2}{x+3}—\frac{x—3}{x+2}=0$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{\left(x—2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}—\frac{\left(x—3\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=0$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

$a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$ $\frac{x^2—4}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}—\frac{x^2—9}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=0$ $\frac{x^2—4—\left(x^2—9\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=0$ $\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=0$

Дробь равна

$0$

когда числитель равен

$0,$

а знаменатель не теряет смысла, то есть не равен

$0.$ $5=0\Rightarrow$

неверно, значит нет решения

$\left(x—2\right)\left(x+2\right)=\left(x—3\right)\left(x+3\right)$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

$a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$ $x^2—4=x^2—9$ $—4=—9\Rightarrow$

неверно, значит нет решения

Уравнения

$\frac{x—2}{x+3}=\frac{x—3}{x+2},\left(x—2\right)\left(x+2\right)=\left(x—3\right)\left(x+3\right)$

являются равносильными , значит они являются следствием из друг друга, так как если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.