$1) \frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x—1}=\frac{4x}{x^2—1}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

$a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$

Приведём все к общему знаменателю:

$\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x—1}—\frac{4x}{x^2—1}=0$ $\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x—1}—\frac{4x}{\left(x—1\right)\left(x+1\right)}=0$ $\frac{x\left(x—1\right)}{\left(x+1\right)\left(x—1\right)}+\frac{2x\left(x+1\right)}{\left(x—1\right)\left(x+1\right)}—\frac{4x}{\left(x—1\right)\left(x+1\right)}=0$ $\frac{x\left(x—1\right)+2x\left(x+1\right)—4x}{\left(x+1\right)\left(x—1\right)}=0$

Дробь равна

$0$

, когда числитель равен

$0,$

а знаменатель не теряет смысла, то есть не равен

$0.$ $x\left(x—1\right)+2x\left(x+1\right)—4x=0$ $x^2—x+2x^2+2x—4x=0$ $3x^2—3x=0$ $3x\left(x—1\right)=0$ $3x=0$ $x—1=0$ $x=0$ $x=1$

не подходит, так как обращает знаменатель в

$0$

Ответ:

$0$ $2) \frac{x—1}{x—2}—\frac{2}{x}=\frac{1}{x—2}$ $\frac{x—1}{x—2}—\frac{2}{x}—\frac{1}{x—2}=0$

Приведём все к общему знаменателю:

$\frac{x\left(x—1\right)}{x\left(x—2\right)}—\frac{2\left(x—2\right)}{x\left(x—2\right)}—\frac{x}{x\left(x—2\right)}=0$ $\frac{x\left(x—1\right)—2\left(x—2\right)—x}{x\left(x—2\right)}=0$

Дробь равна

$0$

, когда числитель равен

$0,$

а знаменатель не теряет смысла, то есть не равен

$0.$ $x\left(x—1\right)—2\left(x—2\right)—x=0$ $x^2—x—2x+4—x=0$ $x^2—4x+4=0$

Воспользуемся формулой сокращённого умножения:

${\left(a—b\right)}^2=a^2—2ab+b^2.$ ${\left(x—2\right)}^2=0$ $x—2=0$ $x=2$

не подходит, так как обращает знаменатель в

$0$

Ответ: нет решения.

$3) \left(x—3\right)\left(x—5\right)=3\left(x—5\right)$ $\left(x—3\right)\left(x—5\right)—3\left(x—5\right)=0$ $\left(x—5\right)\left(\left(x—3\right)—3\right)=0$ $\left(x—5\right)\left(x—6\right)=0$ $x=5$ $x=6$

Ответ

$5;6.$ $4) \left(x—2\right)\left(x^2+1\right)=2\left(x^2+1\right)$ $\left(x—2\right)\left(x^2+1\right)—2\left(x^2+1\right)=0$ $\left(\left(x—2\right)—2\right)\left(x^2+1\right)=0$ $\left(x—4\right)\left(x^2+1\right)=0$ $x—4=0$ $x^2+1=0$ $x=4$

нет решения

Ответ

$4$