95 стр. 35, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 95 стр. 35

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

95 стр. 35

Условие

Вычислить:

$1) \sqrt[3]{5^{3} \cdot 7^{3}}, \sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}, \sqrt[4]{15 \frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}};$ $2) 56^{0} : 8^{— 2}, 16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}, {(\frac{1}{15})}^{— 1} : 9^{\frac{1}{2}}, 8^{\frac{1}{3}} {(\frac{1}{2})}^{4} : 16^{— 1};$ $3) \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{— \frac{1}{4}}}{5^{2}}, \frac{7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{— \frac{4}{3}}}{7^{2}}, \frac{0, 3^{0, 3} \cdot 0, 3^{— 1}}{0, 3^{1, 3}} .$

Решение #1

$1) \sqrt[3]{5^{3} \cdot 7^{3}}, \sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}, \sqrt[4]{15 \frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

и свойствами степеней

$a^{n} \cdot b^{n} = {(a b)}^{n}, {(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $\sqrt[3]{5^{3} \cdot 7^{3}} = \sqrt[3]{{(5 \cdot 7)}^{3}} = {({(5 \cdot 7)}^{3})}^{\frac{1}{3}} = {(5 \cdot 7)}^{3 \cdot \frac{1}{3}} = {(5 \cdot 7)}^{1} = 5 \cdot 7 = 35 .$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

и свойством степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^{4}} = {(6^{4})}^{\frac{1}{4}} = 6^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 6^{1} = 6 .$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

и свойством степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $\sqrt[4]{15 \frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{15 \cdot 8 + 5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} : \frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \sqrt[4]{{(\frac{5}{2})}^{4}} = {({(\frac{5}{2})}^{4})}^{\frac{1}{4}} = {(\frac{5}{2})}^{4 \cdot \frac{1}{4}} {(\frac{5}{2})}^{1} = \frac{5}{2} = 2, 5 .$ $2) 56^{0} : 8^{— 2}, 16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}, {(\frac{1}{15})}^{— 1} : 9^{\frac{1}{2}}, 8^{\frac{1}{3}} {(\frac{1}{2})}^{4} : 16^{— 1} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{— n} = \frac{1}{a^{n}}, {(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} .$ $56^{0} : 8^{— 2} = 1 : 8^{— 2} = 1 : \frac{1}{8^{2}} = 1 : \frac{1}{64} = 1 \cdot \frac{64}{1} = 64$ $16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} = {(2^{4})}^{\frac{1}{4}} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{1} \cdot 5^{1} = 2 \cdot 5 = 10 .$ ${(\frac{1}{15})}^{— 1} : 9^{\frac{1}{2}} = 15 : {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} = 15 : 3^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 15 : 3^{1} = 15 : 3 = 5 .$ $8^{\frac{1}{3}} {(\frac{1}{2})}^{4} : 16^{— 1} = {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2^{4}} : \frac{1}{16} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{16}{1} = 2^{1} \cdot 1 = 2 .$ $3) \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{— \frac{1}{4}}}{5^{2}}, \frac{7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{— \frac{4}{3}}}{7^{2}}, \frac{0, 3^{0, 3} \cdot 0, 3^{— 1}}{0, 3^{1, 3}} .$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}, a^{n} : a^{m} = a^{n — m} .$ $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{— \frac{1}{4}}}{5^{2}} = \frac{5^{\frac{1}{4} + (— \frac{1}{4})}}{5^{2}} = \frac{5^{\frac{1}{4} — \frac{1}{4}}}{25} = \frac{5^{0}}{25} = \frac{1}{25} = 0, 04 .$ $\frac{7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{— \frac{4}{3}}}{7^{2}} = \frac{7^{\frac{7}{3} + (— \frac{4}{3})}}{7^{2}} = \frac{7^{\frac{7}{3} — \frac{4}{3}}}{7^{2}} = \frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{2}} = \frac{7^{1}}{7^{2}} = \frac{1}{7} .$ $\frac{0, 3^{0, 3} \cdot 0, 3^{— 1}}{0, 3^{1, 3}} = \frac{0, 3^{0, 3 + (— 1)}}{0, 3^{1, 3}} = \frac{0, 3^{0, 3 — 1}}{0, 3^{1, 3}} = \frac{0, 3^{— 0, 7}}{0, 3^{1, 3}} = 0, 3^{— 0, 7 — 1, 3} = 0, 3^{— 2} = \frac{1}{0, 3^{2}} = \frac{1}{0, 09} = \frac{1 \cdot 100}{0, 09 \cdot 100} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9} .$

Сообщить об ошибке

1...333435...155