$1) 7^{x\sqrt{3}}=\sqrt{7}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ $7^{x\sqrt{3}}=7^{\frac{1}{2}}$

Основания одинаковые, значит их можно отпустить и приравнять степени.

$x\sqrt{3}=\frac{1}{2}$ $x=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ $x=\frac{1·\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}$ $x=\frac{\sqrt{3}}{2·3}$ $x=\frac{\sqrt{3}}{6}$ $2) {25}^{x\sqrt{2}}=5\sqrt{5}.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ ${25}^{x\sqrt{2}}=5\sqrt{5}$ ${\left(5^2\right)}^{x\sqrt{2}}=5·5^{\frac{1}{2}}$ $5^{2x\sqrt{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}$ $5^{2x\sqrt{2}}=5^{\frac{3}{2}}$

Основания одинаковые, значит их можно отпустить и приравнять степени.

$2x\sqrt{2}=\frac{3}{2}$ $x\sqrt{2}=\frac{3}{4}$ $x=\frac{3}{4\sqrt{2}}$ $x=\frac{3·\sqrt{2}}{4\sqrt{2}·\sqrt{2}}$ $x=\frac{3\sqrt{2}}{4·2}$ $x=\frac{3\sqrt{2}}{8}$ $3) {\left(\sqrt{2}\right)}^x=2\sqrt{2}.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ ${\left(\sqrt{2}\right)}^x=2\sqrt{2}$ ${\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^x=2·2^{\frac{1}{2}}$ $2^{\frac{1}{2}x}=2^{1+\frac{1}{2}}$ $2^{\frac{1}{2}x}=2^{\frac{3}{2}}$

Основания одинаковые, значит их можно отпустить и приравнять степени

$\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}$ $1·x=3$ $x=3$ $4) {\left(\sqrt{3}\right)}^{3x}=3\sqrt{3}.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ ${\left(\sqrt{3}\right)}^{3x}=3\sqrt{3}$ ${\left(3^{\frac{1}{2}}\right)}^{3x}=3·3^{\frac{1}{2}}$ $3^{\frac{1}{2}·3x}=3^{1+\frac{1}{2}}$ $3^{\frac{3}{2}x}=3^{\frac{3}{2}}$

Основания одинаковые, значит их можно отпустить и приравнять степени

$\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}$ $x=1$