$1) {\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1—\sqrt{2}}.$

Воспользуемся свойством cтепеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и формулой сокращенного умножения

$\left(a—b\right)\left(a+b\right)=a^2—b^2.$ ${\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1—.\sqrt{2}}=a^{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1—\sqrt{2}\right)}=a^{1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=a^{1+2}=a^3.$ $2) {\left(m^{\frac{1—\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}\right)}^{—3}·m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}.$

Воспользуемся свойствами cтепеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ ${\left(m^{\frac{1—\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}\right)}^{—3}·m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{—3·\frac{1—\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}·m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{\frac{—3+3\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}+\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{\frac{2\left(—3+3\sqrt{5}\right)+3\sqrt{5}\left(1+\sqrt{5}\right)}{2\left(1+\sqrt{5}\right)}}=m^{\frac{—6+6\sqrt{5}+3\sqrt{5}+3\sqrt{5}\sqrt{5}}{2\left(1+\sqrt{5}\right)}}=m^{\frac{—6+6\sqrt{5}+3\sqrt{5}+3·5}{2\left(1+\sqrt{5}\right)}}=m^{\frac{9+9\sqrt{5}}{2\left(1+\sqrt{5}\right)}}=m^{\frac{9\left(1+\sqrt{5}\right)}{2\left(1+\sqrt{5}\right)}}=m^{\frac{9}{2}}=m^{4,5}.$ $3) {\left(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt[3]{4}—\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}.$

Воспользуемся свойством cтепеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}.$ ${\left(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt[3]{4}—\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=a^{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{4}—\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}\right)}=a^{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{4}—\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}\right)}=a^{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}—\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{4}—\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}}=a^{\sqrt[3]{8}—\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{12}—\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{27}}=a^{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}}=a^{2+3}=a^5.$ $4) {\left(a^{{}^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}}\right)}^{1—\sqrt[3]{3}}.$

Воспользуемся свойствами cтепеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^{—n}=\frac{1}{a^n}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}.$ ${\left(a^{{}^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}}\right)}^{1—\sqrt[3]{3}}=a^{\left({}^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}\right)\left(1—\sqrt[3]{3}\right)}=a^{{}^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1—\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}—\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}—\sqrt[3]{3}}}=a^{{}^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1—\sqrt[3]{27}—\sqrt[3]{9}—\sqrt[3]{3}}}=a^{{}^{1—\sqrt[3]{27}}}=a^{1—3}=a^{—2}=\frac{1}{a^2}.$