$1) \frac{\sqrt{a}—\sqrt{b}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ $\frac{\sqrt{a}—\sqrt{b}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}.$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n·m}={\left(a^n\right)}^m$

и формулой сокращенного умножения

$a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$ $\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=\frac{a^{{\displaystyle 2·\frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle 2·\frac{1}{4}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=\frac{{\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\right)}^2—{\left(b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\right)}^2}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=\frac{\left(a^{\frac{1}{4}}—b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}—b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^1}+\sqrt[4]{b^1}=\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}.$ $2) \frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{m+2\sqrt{mn}+n}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}, \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ $\frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{m+2\sqrt{mn}+n}=\frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{m+2\sqrt{m}\sqrt{n}+n}.$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n·m}={\left(a^n\right)}^m$

и формулой сокращенного умножения

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2.$ $\frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{m+2m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{n}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n}=\frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{m^{2·{\displaystyle \frac{1}{2}}}+2m^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}+n^{2·\frac{1}{2}}}=\frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{{\left(m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)}^2+2m^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}+{\left(n^{\frac{1}{2}}\right)}^2}=\frac{m^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{{\left(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}\right)}^2}=\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt[2]{m^1}+\sqrt[2]{n^1}}=\frac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}.$ $3) \frac{c—2c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{\sqrt{c}—1}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ $\frac{c—2c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{\sqrt{c}—1}=\frac{c—2·1·c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—1}.$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n·m}={\left(a^n\right)}^m$

и формулой сокращенного умножения

${\left(a—b\right)}^2=a^2—2ab+b^2.$ $\frac{c—2·1·c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—1}=\frac{c^{2·{\displaystyle \frac{1}{2}}}—2·1·c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1^2}{c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—1}=\frac{{\left(c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)}^2—2·1·c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1^2}{c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—1}=\frac{{\left(c^{\frac{1}{2}}—1\right)}^2}{c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}—1}=c^{\frac{1}{2}}—1=\sqrt{c}—1.$