1) Пусть

$х=0,\left(6\right)=0,666...$

Тогда

$10x=6,666...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}х=0,666...\\ 10х=6,666...\end{array}\right.=> —9x=—6 => x=\frac{—6}{—9}=>x=\frac{2}{3}.$

2) Пусть

$х=1,\left(55\right)=1,5555...$

Тогда

$100x=155,5555...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}х=1,5555...\\ 100х=155,5555...\end{array}\right.=> —99x=—154 => x=\frac{—154}{—99}=>x=\frac{14}{9}=>x=1\frac{5}{9}.$

3) Пусть

$х=0,1\left(2\right)=0,1222...$

Тогда

$10x=1,2222...$ $100x=12,2222...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}10х=1,2222...\\ 100х=12,2222...\end{array}\right.=> —90x=—11 => x=\frac{—11}{—90}=>x=\frac{11}{90}.$

4) Пусть

$х=—0,\left(8\right)=—0,888...$

Тогда

$10x=—8,888...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}х=—0,888...\\ 10х=—8,888...\end{array}\right.=> —9x=8 => x=—\frac{8}{9}.$

5) Пусть

$х=—3,\left(27\right)=—3,2727...$

Тогда

$100x=—327,2727...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}х=—3,2727...\\ 100х=—327,2727...\end{array}\right.=> —99x=324 => x=\frac{324}{—99}=>x=—\frac{36}{11}=>x=—3\frac{3}{11}.$

6) Пусть

$х=—2,3\left(82\right)=—2,38282...$

Тогда

$10x=—23,8282..., 1000x=—2382,8282...$

Составим систему уравненений и вычтем из верхнего нижнее.

$\left\{\begin{array}{l}10х=—23,8282,,,\\ 1000х=—2382,8282...\end{array}\right.=> —990x=2359 => x=\frac{2359}{—990}=>x=—2\frac{379}{990}.$