27 стр. 29, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни | Готовые домашние задания

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 27 стр. 29

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

27 стр. 29

Условие

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

$1) \frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}}; 2) \frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}}; 3) \frac{3}{\sqrt[3]{4}}; 4) \frac{2}{\sqrt[4]{27}}; 5) \frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}};$ $6) \frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}; 7) \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}; 8) \frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} .$

Решение #1

$1) \frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}} .^{}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{2}{\sqrt{2} — \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} — \sqrt{3}) (\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2 (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{{(\sqrt{2})}^{2} — {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{2 (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 — 3} = \frac{2 (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{— 1} = — 2 (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = — 2 \sqrt{2} — 2 \sqrt{3} .$ $2) \frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{\sqrt{5}}{5 + \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5} (5 — \sqrt{10})}{(5 + \sqrt{10}) (5 — \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{5} (5 — \sqrt{10})}{5^{2} — {(\sqrt{10})}^{2}} = \frac{\sqrt{5} (5 — \sqrt{10})}{25 — 10} = \frac{\sqrt{5} (5 — \sqrt{10})}{15} = \frac{5 \sqrt{5} — \sqrt{50}}{15} = \frac{5 \sqrt{5} — \sqrt{25 \cdot 2}}{15} = \frac{5 \sqrt{5} — 5 \sqrt{2}}{15} = \frac{5 (\sqrt{5} — \sqrt{2})}{15} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{2}}{3} .$ $3) \frac{3}{\sqrt[3]{4}} .$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a^{n}} = a, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} .$ $\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4 \cdot 2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^{3}}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{2} .$ $4) \frac{2}{\sqrt[4]{27}} .$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a^{n}} = a, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} .$ $\frac{2}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{27 \cdot 3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^{4}}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{3} .$ $5) \frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b)$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[\frac{m}{n}]{a} .$ $\frac{3}{\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5} — \sqrt[4]{2}) (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{{(\sqrt[4]{5})}^{2} — {(\sqrt[4]{2})}^{2}} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{\sqrt{5} — \sqrt{2}} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} — \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{{(\sqrt{5})}^{2} — {(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 — 2} = \frac{3 (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = (\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2}) .$ $6) \frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} — a b + b^{2})$

и свойствами корней

${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}, {(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}} .$ $\frac{11}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} = \frac{11 ({(\sqrt[3]{3})}^{2} — \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}) ({(\sqrt[3]{3})}^{2} — \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})} = \frac{11 ({(\sqrt[3]{3})}^{2} — \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})}{{(\sqrt[3]{3})}^{3} + {(\sqrt[3]{2})}^{3}} = \frac{11 ({(\sqrt[3]{3})}^{2} — \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})}{3 + 2} = \frac{11 ({(\sqrt[3]{3})}^{2} — \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})}{5} = \frac{11 (\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{5} .$ $7) \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b), {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b} .$ $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{((1 + \sqrt{2}) — \sqrt{3})}{((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}) ((1 + \sqrt{2}) — \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{2}) — \sqrt{3}}{{(1 + \sqrt{2})}^{2} — {\sqrt{3}}^{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2}) — \sqrt{3}}{1 + 2 \sqrt{2} + 2 — 3} = \frac{1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2} — \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{4} — \sqrt{6}}{4} = \frac{2 + \sqrt{2} — \sqrt{6}}{4} .$ $8) \frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} .$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^{3} — b^{3} = (a — b) (a^{2} + a b + b^{2})$

и свойствами корней

${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a, \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}, {(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}} .$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^{2}} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^{2}}} = \frac{(\sqrt[3]{2} — \sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{2} — \sqrt[3]{3}) ({(\sqrt[3]{2})}^{2} + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} + {(\sqrt[3]{3})}^{2})} = \frac{\sqrt[3]{2} — \sqrt[3]{3}}{{(\sqrt[3]{2})}^{3} — {(\sqrt[3]{3})}^{3}} = \frac{\sqrt[3]{2} — \sqrt[3]{3}}{— 1} = \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2} .$

Сообщить об ошибке

1...151617...155