$1) \sqrt{4+2\sqrt{3}}—\sqrt{4—2\sqrt{3}}=2.$ $4+2\sqrt{3}>4—2\sqrt{3}\Rightarrow \sqrt{4+2\sqrt{3}}—\sqrt{4—2\sqrt{3}}>0$

Возведем обе части в квадрат

${\left( \sqrt{4+2\sqrt{3}}—\sqrt{4—2\sqrt{3}}\right)}^2=2^2$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a—b)}^2=a^2—2ab+b^2.$ ${\left( \sqrt{4+2\sqrt{3}}\right)}^2—2\left(\sqrt{4—2\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\right)+{\left(\sqrt{4—2\sqrt{3}}\right)}^2=4$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2, a^2—b^2=(a—b)(a+b).$ $4+2\sqrt{3}—2\left(\sqrt{4—2\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\right)+4—2\sqrt{3}=4$ $8—2\left(\sqrt{\left(4—2\sqrt{3}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)}\right)=4$ $8—2\sqrt{4^2—{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=4$ $8—2\sqrt{16—4·3}=4$ $8—2\sqrt{16—12}=4$ $8—2\sqrt{4}=4$ $8—2·2=4$ $8—4=4$ $4=4$

Равенство выполняется, чтд.

$2) \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}=3.$

Возведем обе части в куб

${\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)}^3=3^3$ ${\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)}^3=27.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3.$ ${\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)}^3+3{\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)}^2\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)+3\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right){\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)}^2+{\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)}^3=27.$ $9+\sqrt{80}+3\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)+9—\sqrt{80}=27$ $18+3\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$a^2—b^2=(a—b)(a+b).$ $18+3\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27$ $18+3\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\left(9—\sqrt{80}\right)}\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27$ $18+3\sqrt[3]{9^2—{\sqrt{80}}^2}\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27$ $18+3\sqrt[3]{81—80}\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27$ $18+3\sqrt[3]{1}\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27$ $18+3\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27$ $3\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=27—18$ $3\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=9$ $\left(\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\right)+\left(\sqrt[3]{9—\sqrt{80}}\right)\right)=3$

Равенство выполняется, чтд.