$1) \sqrt[3]{{(x—2)}^3}$

при

$а) x\ge 2; б) x<2;$

Так как у нас степень нечетной степени, то нет ни каких ограничений и подкоренное выражение может быть абсолютно любым.

При

$x\ge 2:$ $\sqrt[3]{{(x—2)}^3}=x—2.$

При

$x<2:$ $\sqrt[3]{{(x—2)}^3}=x—2.$ $2) \sqrt{{(3—x)}^6}$

при

$а) x\le 3; б) x>3;$

Так как у нас корень четной степень, то при выносе числа из под корня получится неотрицательное число, поэтому в случае, если при ограничениях получается отрицательное число, мы ставим модуль

При:

$x\le 3, 3—x\ge 0$ $\sqrt{{(3—x)}^6}={(3—x)}^3$

При

$x>3, 3—x<0$ $\sqrt{{(3—x)}^6}=\left|{(3—x)}^3\right|={(x—3)}^3$ $3) \sqrt[4]{{(x+6)}^4}+\sqrt{{\left(x—3\right)}^2},$

если

$—1<x<2;$

Так как у нас корень четной степень, то при выносе числа из под корня получится неотрицательное число, поэтому в случае, если при ограничениях получается отрицательное число, мы ставим модуль

$\sqrt[4]{{(x+6)}^4}+\sqrt{{\left(x—3\right)}^2}=\left|x+6\right|+\left|x—3\right|$

При

$—1<x<2, x+6>0\Rightarrow \left|x+6\right|=x+6$

При

$—1<x<2, x—3<0\Rightarrow \left|x—3\right|=3—x$ $\sqrt[4]{{(x+6)}^4}+\sqrt{{\left(x—3\right)}^2}=x+6+3—x=9$ $4) \sqrt[6]{{(2x+1)}^6}—\sqrt[4]{{(4+x)}^4},$

если

$—3<x<—1.$

Так как у нас корень четной степень, то при выносе числа из под корня получится неотрицательное число, поэтому в случае, если при ограничениях получается отрицательное число, мы ставим модуль

$\sqrt[6]{{(2x+1)}^6}—\sqrt[4]{{(4+x)}^4}=\left|2x+1\right|—\left|4+x\right|$

При

$—3<x<—1, 2x+1<0\Rightarrow \left|2x+1\right|=—1—2x$

При

$—3<x<—1, 4+x>0\Rightarrow \left|4+x\right|=4+x$ $\sqrt[6]{{(2x+1)}^6}—\sqrt[4]{{(4+x)}^4}=—1—2x—(4+x)=—1—2x—4—x=—3x—5$