Сумма бесконечно убывающей прогрессии вычисляется по формуле:

$S=\frac{b_1}{1—q}.$ $1) q=—\frac{1}{2}, b_1=\frac{1}{8}.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{1—\left(—{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{1}{8}·\frac{2}{3}=\frac{1}{12}.$ $2) q=\frac{1}{3}, b_5=\frac{1}{81}.$

Воспользуемся формулой геометрической прогрессии, чтобы найти

$b_1:$ $b_n=b_1{q}^{n—1 }=> b_1=\frac{b_n}{q^{n—1}}.$ ${\mathrm{}}_{}$ $b_1=\frac{b_5}{q^{5—1}}=\frac{b_5}{q^4}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{81}}}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^4}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{81}}}{{\displaystyle \frac{1}{81}}}=1.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{{\displaystyle 1}}{1—{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=1·\frac{3}{2}=1,5.$ $3) q=—\frac{1}{3}, b_1=9.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{{\displaystyle 9}}{1—\left(—{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\displaystyle 9}}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle \frac{4}{3}}}=9·\frac{3}{4}=\frac{27}{4}=6,75.$ $4)q=—\frac{1}{2}, b_4=\frac{1}{8}.$

Воспользуемся формулой геометрической прогрессии, чтобы найти

$b_1:$ $b_n=b_1{q}^{n—1 }=> b_1=\frac{b_n}{q^{n—1}}.$ ${\mathrm{}}_{}$ $b_1=\frac{b_4}{q^{4—1}}=\frac{b_4}{q^3}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\left({\displaystyle —\frac{1}{2}}\right)}^3}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\displaystyle —\frac{1}{8}}}=—1.$ $S=\frac{b_1}{1—q}=\frac{{\displaystyle —1}}{1—{\displaystyle \left(—\frac{1}{2}\right)}}=\frac{{\displaystyle —1}}{{\displaystyle 1+\frac{1}{2}}}=\frac{—1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=(—1)·\frac{2}{3}=—\frac{2}{3}.$