Геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если

$\left|q\right| <1$ $1) b_1=40, b_2=—20.$

Знаменатель геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}.$ $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{—20}{40}=—\frac{1}{2}.$ $\left|q\right|=\left|—\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}< 1 =>$

геометрическая погрешность является бесконечно убывающей.

$2) b_7=12, b_{11}=\frac{3}{4}.$

Воспользуемся формулой геометрической прогрессии, чтобы найти

$b_1:$ $b_n=b_1{q}^{n—1 }=> b_1=\frac{b_n}{q^{n—1}}.$ $b_1=\frac{b_7}{q^{7—1}}=\frac{b_7}{q^6}=\frac{12}{q^6};$ $b_1=\frac{b_{11}}{q^{11—1}}=\frac{b_{11}}{q^{10}}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{q^{10}}=\frac{3}{4}·\frac{1}{q^{10}}=\frac{3}{4q^{10}}.$

Из выше написанного следует, что

$\frac{12}{q^6}=\frac{3}{4q^{10}}$

Приведем к общему знаменателю

$4q^{10},$

для этого домножим левую часть на

$4q^4.$ $\frac{12·4·q^4}{q^6·q^4·4}=\frac{3}{4q^{10}}$ $\frac{48·q^4}{4·q^{6+4}}=\frac{3}{4q^{10}}$ $\frac{48·q^4}{4q^{10}}=\frac{3}{4q^{10}}$ $48q^4=3$ $q^4=\frac{3}{48}$ $q^4=\frac{1}{16}$ $q=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ $q=\frac{1}{2}.$ $\left|q\right|=\frac{1}{2}< 1 =>$

геометрическая погрешность является бесконечно убывающей.

$3) b_7=—30, b_6=15.$

Знаменатель геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}.$ $q=\frac{b_7}{b_6}=\frac{15}{—30}=—\frac{1}{2}.$ $\left|q\right|=\left|—\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}< 1 =>$

геометрическая погрешность является бесконечно убывающей.

$4) b_5=9, b_{10}=—\frac{1}{27}.$

Воспользуемся формулой геометрической прогрессии, чтобы найти

$b_1:$ $b_n=b_1{q}^{n—1 }=> b_1=\frac{b_n}{q^{n—1}}.$ $b_1=\frac{b_5}{q^{5—1}}=\frac{b_5}{q^4}=\frac{9}{q^4};$ $b_1=\frac{b_{10}}{q^{10—1}}=\frac{b_{10}}{q^9}=\frac{{\displaystyle —\frac{1}{27}}}{q^9}=—\frac{1}{27}·\frac{1}{q^9}=—\frac{1}{27q^9}.$

Из выше написанного следует, что

$\frac{9}{q^4}=—\frac{1}{27q^9}$

Приведем к общему знаменателю

$27q^9,$

для этого домножим левую часть на

$27q^5.$ $\frac{9·27·q^5}{q^4·27·q^5}=—\frac{1}{27q^9}$ $\frac{243·q^5}{27·q^{4+5}}=—\frac{1}{27q^9}$ $\frac{243·q^5}{27q^9}=—\frac{1}{27q^9}$ $243·q^5=—1$ $q^5=—\frac{1}{243}$ $q=\sqrt[5]{—\frac{1}{243}}$ $q=—\frac{1}{3}.$ $\left|q\right|=\left|—\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}< 1 =>$

геометрическая погрешность является бесконечно убывающей.