ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 9 стр. 159

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AA1 и ВВ1 и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника (рис. 196). Отрезок А1В1 параллелен стороне AB, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и A1B1 секущими AA1 и ВВ1. Следовательно, треугольники AOB и А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:

AO/A1O=BO/B1O=AB/A1B1.

Но AB = 2А1В1, поэтому АО = 2А1О и ВО = 2В1О. Таким образом, точка О пересечения ме-диан АА1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пере-сечения медиан BB1 и CC1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.