Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 723 стр. 186

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 723 стр. 186

1...762763764...782

723 стр. 186

Условие

Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Решение #1

Пусть $A BC D$ — трапеция, где $A B$ и $C D$ — основания, а $BC$ и $A D$ — боковые стороны. Прямые $BC$ и $A D$ касаются окружности с центром $O$ .

1. Поскольку $BC$ является касательной к окружности в точке $E$ , то радиус $OE$ перпендикулярен к касательной:

$OE ⊥ BC.$

Аналогично, поскольку $A D$ также является касательной к окружности в точке $N$ , то радиус $ON$ перпендикулярен к касательной:

$ON ⊥ A D .$

2. Основания трапеции $A B$ и $C D$ параллельны (по определению трапеции), следовательно:

$A D ∣∣ BC .$

Из этого следует, что линия, соединяющая точки касания (то есть линия $EN$ ), будет перпендикулярна как к основанию $BC$ , так и к основанию $A D$ :

$EN ⊥ BC,$

$EN ⊥ A D .$

3. Таким образом, прямая $EN$ является диаметром окружности (поскольку она перпендикулярна обеим касательным). Следовательно, центр окружности $O$ принадлежит прямой $EN$ :

$O \in EN .$

4. Пусть точки $F$ и $K$ — середины боковых сторон $BC$ и $A D$ , соответственно. Прямая, соединяющая эти две точки ( $F K$ ), называется средней линией трапеции.

5. Средняя линия трапеции ( $F K$ ) параллельна основаниям ( $A B$ и $C D$ ):

$F K ∣∣ A B ∣∣ C D .$

6. Так как прямая средняя линия ( $F K$ ) параллельна основаниям и пересекает диаметр ( $EN)$ , который проходит через центр окружности ( $O)$ , то точка пересечения средней линии с диаметром также содержит центр окружности.

7. Центр окружности ( $O)$ принадлежит средней линии ( $F K)$ :

$O \in F K .$

Сообщить об ошибке

1...762763764...782