Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 714 стр. 185

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 714 стр. 185

1...753754755...782

714 стр. 185

Условие

Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром AB.

Решение #1

Давайте докажем, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $A B$ , где $A$ и $B$ — точки касания двух окружностей с общей касательной в точке $M$ .

1. Пусть у нас есть две окружности: первая с центром $O_{1}$ и радиусом $r_{1}$ , вторая с центром $O_{2}$ и радиусом $r_{2}$ . Обозначим общую точку касания как $M$ . Прямая $A B$ касается первой окружности в точке $A$ и второй — в точке $B$ .

2. Проведем касательную к обеим окружностям через точку $M$ . Эта касательная пересечет прямую $A B$ в некоторой точке, обозначим её как $K$ .

3. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$A K = K M,$

$B K = K M .$

Это означает, что отрезки $A K$ и $K B$ равны между собой.

4. Обозначим длину отрезка $K M$ как $r$ :

$A K = K M = K B = r .$

5. Теперь можем выразить длину отрезка $A B$ :

$A B = A K + K B = r + r = 2 r .$

6. Поскольку точки $A$ , $K$ , и $B$ находятся на одной прямой, а расстояние между ними равно длине отрезка, то центр окружности с диаметром $A B$ будет находиться в середине этого отрезка. Таким образом, радиус этой окружности равен половине длины отрезка. Центр этой окружности будет находиться в точке, которая делит отрезок пополам.

7. Точка $M$ , находясь на касательной к обеим окружностям, также будет находиться на окружности с диаметром $A B$ , так как по свойству круга любой угол, опирающийся на диаметр (в данном случае угол $A MB$ ), является прямым.

Таким образом, мы доказали, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $A B$ :

М принадлежит окружности (K; AB/2).

Сообщить об ошибке

1...753754755...782