ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 712 стр. 185

1. Пусть дана окружность O с радиусом r, и AB — хорда этой окружности. Проведем касательные AC и BC из точек A и B соответственно.

2. Поскольку радиусы OA=OB=r, треугольник OAB является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны:

∠OAB=∠OBA=α.

3. Угол AOB можно выразить как:

∠AOB=180°−(∠OAB+∠OBA)=180°−2α.

4. Угол AOB равен центральному углу, который опирается на дугу AB. Таким образом, мы имеем:

∠AOB=U AB​=180°−2α.

5. Касательная AC перпендикулярна радиусу OA:

∠CAB=90°−α.

Касательная BC перпендикулярна радиусу OB:

∠CBA=90°−α.

Значит,

∠CAB = 1/2 ∠AOB = U AB.

6. Поскольку дуга AB<180° (так как хорда не является диаметром), следовательно, угол AOB<180°. Это означает, что угол между касательными будет меньше чем прямой угол (90°), так как оба угла CAB и CBA<90°.

8.Из этого следует, что касательные не являются перпендикулярными к хорде и пересекаются в некоторой точке C. Таким образом, мы доказали, что касательные, проведенные через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.